7.5.1 三角形内角和定理的证明 同步练习题（含答案）2021-2022学年北师大版八年级数学上册

7.5.1 三角形内角和定理的证明 同步练习题2021-2022学年北师大版八年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1．(1)在△ABC中，∠C＝100°，∠B＝10°，则∠A＝_______．
(2)在△ABC中，如果∠A＝∠B＝2∠C，那么∠C＝______．
2．如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE于点E.若∠A＝42°，则∠D＝______．
3．(1)如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝______．
(2)在△ABC中，AD为BC边上的高，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°，则∠BAC＝______．
4．(1)将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D，已知∠A＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF的度数为______．
(2)将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为______．
二、选择题
5．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
6．小明同学把自己的一副三角板(两个直角三角形)按如图所示的位置将相等的边叠放在一起，则α的度数（ ）
A．135° B．120° C．105° D．75°
7．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC.若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
8．如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAD＝65°，则∠ACD的度数为（ ）
A．50° B．65° C．80° D．95°
三、解答题
9．如图，已知在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＝35°，求∠DAC的度数．
10．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高．
(1)求证：∠DAC＝∠ABC.
(2)如图2，△ABC的角平分线CF交AD于点E.求证：∠AFE＝∠AEF.
B组(中档题)
四、填空题
11．如图，在△ABC中，∠A＝70°.按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于FG的长为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O.则∠BOC的度数是______．
12．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为______．
13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点O为△ABC内一点，且∠BOC＝140°，其中BO1平分∠ABO，CO1平分∠ACO，BO2平分∠ABO1，CO2平分∠ACO1，…，BOn平分∠ABOn－1，OnC平分∠ACOn－1，……以此类推，则∠BO1C＝100°，∠BO2 021C＝______.
五、解答题
14．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝40°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.求∠DAE的度数．
【拓展提问1】　若∠B－∠C＝30°，则∠DAE＝______．
【拓展提问2】　若∠B－∠C＝α(∠B＞∠C)，求∠DAE的度数．(用含α的代数式表示)
C组(综合题)
15．如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N.试解答下列问题：
(1)在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：______．
(2)在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数．
(3)如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系？(直接写出结论即可)
参考答案
7.5.1 三角形内角和定理的证明 同步练习题2021-2022学年北师大版八年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1．(1)在△ABC中，∠C＝100°，∠B＝10°，则∠A＝70°．
(2)在△ABC中，如果∠A＝∠B＝2∠C，那么∠C＝36°．
2．如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE于点E.若∠A＝42°，则∠D＝48°．
3．(1)如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝66°．
(2)在△ABC中，AD为BC边上的高，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°，则∠BAC＝80°或30°．
4．(1)将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D，已知∠A＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF的度数为25°．
(2)将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为75°．
二、选择题
5．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA＝（ C ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
6．小明同学把自己的一副三角板(两个直角三角形)按如图所示的位置将相等的边叠放在一起，则α的度数（ C ）
A．135° B．120° C．105° D．75°
7．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC.若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（ C ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
8．如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAD＝65°，则∠ACD的度数为（ C ）
A．50° B．65° C．80° D．95°
三、解答题
9．如图，已知在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＝35°，求∠DAC的度数．
解：∵∠1＝∠2，∠1＝35°，
∴∠2＝35°.
∴∠ADB＝180°－∠1－∠2＝110°.
∴∠3＝∠4＝180°－∠ADB＝70°.
∴∠DAC＝180°－∠3－∠4＝180°－70°－70°＝40°.
10．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高．
(1)求证：∠DAC＝∠ABC.
(2)如图2，△ABC的角平分线CF交AD于点E.求证：∠AFE＝∠AEF.
证明：(1)∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°.
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.
∴∠DAC＋∠ACB＝90°.
∴∠DAC＝∠ABC.
(2)∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF.
∵∠BAC＝∠ADC＝90°，
∴∠AFE＋∠ACF＝∠CED＋∠BCF＝90°.
∴∠AFE＝∠CED.
又∵∠AEF＝∠CED，
∴∠AFE＝∠AEF.
B组(中档题)
四、填空题
11．如图，在△ABC中，∠A＝70°.按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于FG的长为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O.则∠BOC的度数是125°．
12．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为100°，20°或90°，30°．
13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点O为△ABC内一点，且∠BOC＝140°，其中BO1平分∠ABO，CO1平分∠ACO，BO2平分∠ABO1，CO2平分∠ACO1，…，BOn平分∠ABOn－1，OnC平分∠ACOn－1，……以此类推，则∠BO1C＝100°，∠BO2 021C＝[60＋()2__021×80]°.
五、解答题
14．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝40°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.求∠DAE的度数．
解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC＝35°.
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝180°－90°－40°＝50°.
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝15°.
【拓展提问1】　若∠B－∠C＝30°，则∠DAE＝15°．
【拓展提问2】　若∠B－∠C＝α(∠B＞∠C)，求∠DAE的度数．(用含α的代数式表示)
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC.
又∵∠BAC＝180°－∠B－∠C，
∴∠EAC＝90°－∠B－∠C.
∵∠DAC＝90°－∠C，
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝90°－∠C－(90°－∠B－∠C)＝(∠B－∠C).
∵∠B－∠C＝α(∠B＞∠C)，
∴∠DAE＝α.
C组(综合题)
15．如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N.试解答下列问题：
(1)在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：∠A＋∠D＝∠C＋∠B．
(2)在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数．
(3)如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系？(直接写出结论即可)
解：(2)∵∠D＋∠1＋∠2＝∠B＋∠3＋∠4，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴40°＋2∠2＝36°＋2∠4.
∴∠4－∠2＝2°.
∵∠B＋∠4＝∠P＋∠2，
∴∠P＝∠B＋∠4－∠2＝36°＋2°＝38°.
(3)由(2)知，∠D＋2∠2＝∠B＋2∠4，
2∠B＋2∠4＝2∠P＋2∠2，
∴∠D＋2∠2＋2∠B＋2∠4＝∠B＋2∠4＋2∠P＋2∠2.
∴∠D＋2∠B＝∠B＋2∠P，即∠P＝.