2021-2022学年北师大版八年级数学上册第1章勾股定理 优生辅导专题提升训练 （word解析版）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》优生辅导
专题提升训练（附答案）
1．下列各组数是勾股数的一组是（　　）
A．7，24，25 B．3，4，6 C．1.5，2，2.5 D．32，42，52
2．如果用，a、b、c表示△ABC的三边，那么分别满足下列条件的三角形中，直角三角形有（　　）
①b2＝c2﹣a2
②a：b：c＝3：4：5
③∠C＝∠A﹣∠B
④∠A：∠B：∠C＝12：13：15
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在水塔O的东北方向5m处有一抽水站A，在水塔的东南方12m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（　　）
A．10m B．13m C．14m D．8m
4．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边长的平方为（　　）
A．16 B．34 C．20 D．16或34
5．给出下列四个说法：
①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；
②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；
③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2；
④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
6．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为（　　）
A．90㎜ B．100㎜ C．120㎜ D．150㎜
7．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的底部在水平方向上向右滑动了8米，那么梯子的底端下滑（　　）米．
A．10 B．8 C．6 D．4
8．等腰三角形的周长是50cm，底边的长是24cm，则它的面积是（　　）cm2．
A．120 B．100 C．60 D．30
9．下列说法正确的是（　　）
A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2＝c2
B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2＝c2
C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2+b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2+b2＝c2
10．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
11．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为33，则小正方形的边长为　 　．
12．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是　 　．
13．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　cm．
14．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．
15．在我区“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝50，BC＝130，BE＝120．
（1）判断△ABE的形状，并说明理由．
（2）求△ABC的周长．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
17．某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD＝100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
18．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC中BC边上的高．
19．已知港口A与灯塔C之间相距20海里，一艘轮船从港口A出发，沿AB方向以每小时4海里的速度航行，4小时到达D处，测得CD两处相距12海里，若轮船沿原方向按原速度继续航行1.25小时到达小岛B处，此时船与灯塔之间的距离为多少海里？
20．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，求△ABC的面积．
21．由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．
参考答案
1．解：A、72+242＝252，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项符合题意；
B、3,4,6不是勾股数，此选项不合题意；
C、1.5，2.5，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；
D、92+162≠252，不是勾股数，不合题意．
故选：A．
2．解：①b2＝c2﹣a2，可以变形为b2+a2＝c2，是直角三角形；
②∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴a2+b2＝c2，
∴是直角三角形；
③∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠C+∠B＝∠A，
∵∠C+∠B+∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴是直角三角形；
④∵∠A：∠B：∠C＝12：13：15，
∴设∠A＝×180°≠90°
∴不是直角三角形；
则直角三角形有3个，
故选：C．
3．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝5m，OB＝12m，
∴AB＝13（m）．
故选：B．
4．解：当3和5都是直角边时，第三边长平方为：＝34；
当5是斜边长时，第三边长平方为：＝16．
故选：D．
5．解：①由于0.32+0.42＝0.52，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故①说法错误；
②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；
③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2，故③说法正确；
④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，故④说法正确．
故选：C．
6．解：如图，在Rt△ABC中，∵AC＝120﹣60＝60，BC＝140﹣60＝80，
∴AB＝100（mm），
∴两圆孔中心A和B的距离为100mm．
故选：B．
7．解：如图标上字母．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝25，OB＝7，
∴OA＝24．
在Rt△COD中，∠COD＝90°，CD＝25，OD＝7+8＝15，
∴OC＝20，
∴AC＝OA﹣OC＝4．
故选：D．
8．解：作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，
∴BD＝BC＝12，AB＝（50﹣24）＝13，
∴AD＝5，
∴S△ABC＝BC?AD＝×24×5＝60（cm2）．
故选：C．
9．解：A、勾股定理只限于在直角三角形里应用，故A可排除；
B、虽然给出的是直角三角形，但没有给出哪一个是直角，故B可排除；
C、在Rt△ABC中，直角所对的边是斜边，C中的斜边应为a，得出的表达式应为b2+c2＝a2，故C也排除；
D、符合勾股定理，正确．
故选：D．
10．解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：＝13．
即a的取值范围是12≤a≤13．
故选：A．
11．解：由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×4＝2，
∴4×ab+（a﹣b）2＝33，
∴（a﹣b）2＝33﹣8＝25，
∴a﹣b＝5．故答案为：5．
12．解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，
即S3＝2+5+1+2＝10．
故答案是：10．
13．解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，
∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝15cm，
故答案为：15．
14．解：设旗杆高度为x米，则AC＝AD＝x米，AB＝（x﹣2）米，BC＝8米，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17（米），
即旗杆的高度为17米．
15．解：（1）△ABE是直角三角形，
理由：∵BC2＝1302＝16900，BE2＝1202＝14400，CE2＝502＝2500，
∴BE2+CE2＝BC2＝16900，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC，
∴△ABE是直角三角形．
（2）设AB＝AC＝x，则AE＝x﹣50，
由（1）可知△ABE是直角三角形，
∴BE2+AE2＝AB2，
∴1202+（x﹣50）2＝x2，
解得x＝169．
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝169+169+130＝468．
16．解：连接AC．
∵∠B＝90°，
∴由勾股定理得，AC＝5，
∵AC2+AD2＝25+144＝169＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，
＝×3×4+×5×12，
＝6+30，
＝36．
17．解：在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD＝240km，
则台风中心经过240÷15＝16小时从B移动到D点；
如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
∴人们要在台风中心到达E点之前撤离，
∵BE＝BD﹣DE＝240﹣30＝210km，
∴游人在＝14小时内撤离才可脱离危险．
18．解：（1）∵BC＝20cm，且CD＝16cm，BD＝12cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
设AD＝xcm，则AC＝AB＝（x+12）cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即x2+162＝（x+12）2，
解得：x＝，
即AD＝cm；
（2）AB＝AC＝+12＝（cm），
过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高，
∵AB＝AC，BC＝20cm，
∴BE＝CE＝10（cm），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE＝（cm），
即△ABC中BC边上的高是cm．
19．解：在Rt△ACD中，AC＝20，CD＝12，
∴AD＝4×4＝16，AC2＝AD2+CD2，
∴△ACD是直角三角形．
∴△BDC是直角三角形，
在Rt△CDB中，CD＝12，DB＝5，
∴CB＝13．
答：船与灯塔之间的距离为13海里．
20．解：过点A作AD⊥BC交BC于点D，
∵AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，
∴BD＝CD＝5cm，AD⊥BC，
由勾股定理得：AD＝12（cm），
∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×10×12＝60（cm2）．
21．解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，
由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，
故BD＝5（m），
即AD＝9m，
则AC＝15（m），
故AC+AB＝15+4＝19（m），
答：树原来的高度19米．