2021-2022学年北京课改新版九年级上册数学《第20章 解直角三角形》单元测试卷(word解析版)

2021-2022学年北京课改新版九年级上册数学《第20章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则下列各式中，正确的是（　　）
A．sinB＝
B．cosB＝
C．tanB＝
D．以上都不对
2．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的正切值（　　）
A．扩大2倍
B．缩小为原来的
C．扩大4倍
D．没有变化
3．在△ABC中，∠C＝90°，∠B的平分线交AC于D．则＝（　　）
A．sinB
B．cosB
C．tanB
D．cotB
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．1
5．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（　　）
A．sinA的值越小，梯子越陡
B．cosA的值越小，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠A的函数值无关
6．在Rt△ABC中，cosA＝，那么sinA的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．已知∠A+∠B＝90°，且cosA＝，则cosB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．若cosα＝，则锐角α的度数是（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
10．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．已知tanα＝，α是锐角，则sinα＝　
　．
12．用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，总结规律，并利用此规律比较当0°＜α＜β＜90°时，cosα与cosβ的大小，即cosα　
　cosβ．
13．一直角三角形中，斜边与一直角边的比是13：12，最小角为α，则sinα＝　
　，cosα＝　
　，tanα＝　
　．
14．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝　
　．
15．直角三角形ABC的面积为24cm2，直角边AB为6cm，∠A是锐角，则sinA＝　
　．
16．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC　
　∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanB＝　
　．
18．若sin28°＝cosα，则α＝　
　度．
19．计算：2cos60°+tan45°＝　
　．
20．已知△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且c＝3a，则cosA＝　
　．
三．解答题
21．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sinA、cosA和tanA．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝．当c＝2，a＝1时，求cosA．
23．计算：sin60°?cos60°﹣tan30°?tan60°+sin245°+cos245°．
24．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
25．已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式b2＝（c+a）（c﹣a），且5b﹣4c＝0，求sinA+sinB的值．
26．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　
　cosα；若∠α＜45°，则sinα　
　cosα；若∠α＞45°，则sinα　
　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
27．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：如图：
由勾股定理得：AB＝，
所以cosB＝，sinB＝，tanB＝，所以只有选项C正确；
故选：C．
2．解：根据锐角三角函数的定义，知
如果各边长度都扩大3倍，那么锐角A的正切值不变．
故选：D．
3．解：过点D作DE⊥AB于E．
则DE＝DC．
可证△BED≌△BCD，
∴BE＝BC．
∴AB﹣BC＝AB﹣BE＝AE，
又∵∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵sin∠ADE＝＝
∴sin∠ABC＝．
故选：A．
4．解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，
∴sinA＝＝，
故选：A．
5．解：sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；
cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；
tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，
所以B正确．
故选：B．
6．解：∵Rt△ABC中，cosA＝，
∴sinA＝＝，
故选：B．
7．解：∵sin2A+cos2A＝1，即（）2+cos2A＝1，
∴cos2A＝，
∴cosA＝或﹣（舍去），
∴cosA＝．
故选：D．
8．解：∵∠A+∠B＝90°，
∴cosB＝cos（90°﹣∠A）＝sinA，
又∵sin2A+cos2A＝1，
∴cosB＝＝．
故选：D．
9．解：∵cosα＝，
∴α＝60°．
故选：C．
10．解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0.9816，
∴按下的第一个键是2ndF．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵tanα＝＝，
∴设BC＝5x，则AC＝12x，
在Rt△ABC中，AB＝＝13x，
故sinα＝＝．
故答案是．
12．解：用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，可发现在0°到90°之间，角越大，余弦值越小；故当0°＜α＜β＜90°时，cosα与cosβ的大小，即cosα＞cosβ．
故答案为＞．
13．解：设斜边为13x，则一直角边的边长为12x，另一直角边的边长＝x＝5x．
∴sinα＝，cosα＝，tanα＝．
14．解：过点A作AD⊥OB垂足为D，
如图，在直角△AOD中，AD＝1，OD＝2，
则tan∠AOB＝＝．
故答案为：．
15．解：直角三角形ABC直角边AB为6cm，∠A是锐角，
则另一直角边是BC，∠B是直角．
由直角三角形ABC的面积为24cm2得到：＝24，
因而BC＝8；
根据勾股定理得到：斜边AC＝10，
∴sinA＝．
16．解：解法一：在AD上取一点G，在网格上取点F，构建△AFG为等腰直角三角形，
∵tan∠BAC＝＝1，tan∠EAD＜1，
∴∠BAC＞∠EAD；
解法二：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，
S△ANH＝2×2﹣﹣×1×1＝AH?NP，
＝PN，
PN＝，
Rt△ANP中，sin∠NAP＝＝＝＝0.6，
Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝＝＞0.6，
∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴∠BAC＞∠DAE，
故答案为：＞．
17．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵sinA＝＝
不妨设BC＝3x，则AB＝5x，
根据勾股定理可得：AC＝＝4x，
∴tanB＝＝．
故答案为：．
18．解：∵sin28°＝cosα，
∴α＝90°﹣28°＝62°．
19．解：2cos60°+tan45°＝2×+1＝2．
故答案为：2．
20．解：已知△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且c＝3a，
则c＝2b，
∴cosA＝＝．
三．解答题
21．解：如图所示：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，b＝6，c＝10，
∴a＝＝8，
∴sinA＝＝＝；
cosA＝＝＝；
tanA＝＝＝．
22．解：∵∠C＝90°，c＝2，a＝1，
∴b＝＝，
∴cosA＝＝．
23．解：原式＝×﹣×+1
＝﹣1+1
＝．
24．解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；
（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．
25．解：∵b2＝（c+a）（c﹣a），
∴b2＝c2﹣a2，
即：a2+b2＝c2，
∴△ABC是以c为斜边的Rt△ABC，
∵5b﹣4c＝0，∴，
设b＝4k，则c＝5k，
∴△ABC中，a＝3k，
∴sinA+sinB＝＝．
26．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
27．解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的解，
∴a+b＝m，ab＝2m﹣2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2＝c2，
而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c＝5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25，
即：m2﹣2（2m﹣2）＝25
解得，m1＝7，m2＝﹣3，
∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．
∴a+b＝m＞0，m＝﹣3不合题意，舍去．
∴m＝7，
当m＝7时，原方程为x2﹣7x+12＝0，
解得，x1＝3，x2＝4，
不妨设a＝3，则sinA＝＝，
∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为．