(共23张PPT)
14.2.1
勾股定理的应用
1.
同学们，什么是勾股定理？
两直角边的平方和等于斜边的平方，
2.
若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则另一条直角边长为（ ）
A.
8
B.
12
C.
20
D.
65
解：∵直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，
∴另一条直角边长=12，故选：B．
例1
如图14.2.
1,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.(精确到0.01cm)
图14.2.1
B
C
D
A
我怎么走会最近呢?
分析
蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开(如图14.
2.2)
,得到长方形ABCD,根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图——长方形ABCD的对角线AC之长.
图14.2.2
B
A
C
D
解：如图14.2.2,在Rt△ABC中,
BC=底面周长的一半=10cm.由勾股定理,可得
AC
=
=
=
≈10.77(
cm).
答:爬行的最短路程约为10.77
cm.
图14.2.2
B
A
C
D
变式：如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（ ）
A.
16cm
B.
18cm
C.
20cm
D.
24cm
解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，
过S作SE⊥CD于E，
则SE=BC=
×24=12cm，
EF=18-1-1=16cm，
在Rt△FES中，由勾股定理得：EF2+ES2=SF2
∴
SF=20（cm）
答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度20cm．
例2
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图14.2.3所示的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂门上方为半圆形拱门)?
图14.2.3
分析：由于车宽1.6米,所以卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高即可.如图14.2.3所示，点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面相交于点H.
图14.2.3
解：在Rt△OCD中，由勾股定理,可得
CD=
=
=
0.6,
CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9>2.5.
可见高度上有0.4米的余量,因此卡车能通过厂门。
做一做
如图14.2.4,以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点,过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形.
图14.2.4
图14.2.4
注意:
勾股定理在生活中的应用十分广泛，利用勾股定理解决问题，关键是找出问题中隐藏的直角三角形或自己构造合适的直角三角形，尝试把立体图形转换为平面图形.
1、如图，一个无盖长方形盒子的长、宽、高分别是4cm，4cm，6cm，一只蚂蚁想从盒底的A点沿盒的表面爬到盒顶的B点，蚂蚁要爬的最短路程是（ ）
A.
5cm
B.
8cm
C.
10cm
解：长方体展开，将长方体展开，进而得出最短路线．
可得：AB2=62+82=100
∴AB=10（cm），
故最短路程为10cm；
故选：C．
2、如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是（ ）cm．
A.
35
B.
40
C.
50
D.
45
解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．
设水深h尺，由题意得：
Rt△ABC中，AB=h，AC=h+30，BC=60，
由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，
即（h+30)2=h2+602，
解得：h=45．
故选：D．
3、如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（ ）km.
A.
4
B.
5
C.
6
D.
9
解：设BE=x，则AE=（10-x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2=AD2+AE2=42+(10-x)2，
在Rt△BCE中，
CE2=BC2+BE2=62+x2，
由题意可知：DE=CE，
所以，62+x2=42+(10-x)2，
解得x=4km．
所以，EB的长是4km．
所以，EA=10-4=6（km）．
故选：C．
这节课你学习了哪些知识？解决了什么问题。
1、立体图形中路线最短的问题，往往是把立体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线段最短”
确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离．
2、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题.
课题：14.2.1
勾股定理的应用
?
教师板演区
?
学生展示区
一、勾股定理的应用
二、例题
基础作业：
课本P121练习第1题
练习册基础
能力作业：
课本P121练习第2题中小学教育资源及组卷应用平台
14.2.1
勾股定理的应用
学案
课题
14.2.1
勾股定理的应用
单元
第14章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”;而勾股逆定理的作用是由
“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.
2、掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算.
重点
难点
勾股定理的应用.
将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”.
导
入
学
习
1.
同学们，什么是勾股定理？
两直角边的平方和等于斜边的平方，
2.
若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则另一条直角边长为（ ）
A.
8
B.
12
C.
20
D.
65
解：∵直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，
∴另一条直角边长=12，故选：B．
讲
授
新
课
探究一：
例1
如图14.2.
1,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.(精确到0.01cm)
分析
蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开(如图14.
2.2)
,得到长方形ABCD,根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图长方形ABCD的对角线AC之长.
探究二：
例2
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图14.2.3所示的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门.(厂门上方为半圆形拱门)
图14.2.3
分析：由于车宽1.6米,所以卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高即可.如图14.2.3所示，点D在离厂门]中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面相交于点H.
探究三：
如图14.2.4,以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点,过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形.
图14.2.4
注意:
勾股定理在生活中的应用十分广泛，利用勾股定理解决问题，关键是找出问题中隐藏的直角三角形或自己构造合适的直角三角形，尝试把立体图形转换为平面图形.
课
堂
练
习
1、如图，一个无盖长方形盒子的长宽高分别是4cm，4cm，6cm，一只蚂蚁想从盒底的A点沿盒的表面爬到盒顶的B点，蚂蚁要爬的最短路程是（ ）
A.
5cm
B.
8cm
C.
10cm
2、如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是（ ）cm．
A.
35
B.
40
C.
50
D.
45
3、
如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（ ）km
A.
4
B.
5
C.
6
D.
9
答
案
参考答案
讲授新课：
探究一：
解：如图14.
2.2,在Rt△ABC中,
BC=底面周长的一半=10cm.由勾股定理,可得
AC
=
=
=
≈10.77(
cm).
答:爬行的最短路程约为10.77
cm.
探究二：
解：在Rt△OCD中，由勾股定理,可得
CD==
=
0.6,
CH
=
CD
+
DH=0.6+2.3=2.9>2.5.
可见高度上有0.4米的余量,因此卡车能通过厂门。
探究三：
课堂练习：
1、解：长方体展开，将长方体展开，进而得出最短路线．
可得：AB2=62+82=100
∴AB=10（cm），
故最短路程为10cm；
故选：C．
2、解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．
设水深h尺，由题意得：
Rt△ABC中，AB=h，AC=h+30，BC=60，
由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，
即（h+30)2=h2+602，
解得：h=45．
故选：D．
3、解：设BE=x，则AE=（10-x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2=AD2+AE2=42+（10-x）2，
在Rt△BCE中，
CE2=BC2+BE2=62+x2，
由题意可知：DE=CE，
所以：62+x2=42+（10-x）2，
解得：x=4km．
所以，EB的长是4km．
所以，EA=10-4=6（km）．
故选：C．
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精品试卷·第
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14.2.1
勾股定理的应用
教案
课题
14.2.1
勾股定理的应用
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1、了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”;而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.2、掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算.
重点难点
勾股定理的应用.将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”.
教学过程
教学环节
教师活动1.
同学们，什么是勾股定理？
两直角边的平方和等于斜边的平方，2.
若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则另一条直角边长为（ ）
A.
8
B.
12
C.
20
D.
65
解：∵直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，
∴另一条直角边长=12，故选：B．
设计意图
讲授新课
课堂小结
这节课你学习了哪些知识？解决了什么问题。1、立体图形中路线最短的问题，往往是把立体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线段最短”
确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离．2、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题.
例1
如图14.2.
1,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.(精确到0.01cm)
我怎么走会最近呢?
分析
蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开(如图14.
2.2)
,得到长方形ABCD,根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图——长方形ABCD的对角线AC之长.
解：如图14.2.2,在Rt△ABC中,
BC=底面周长的一半=10cm.由勾股定理,可得
AC
≈10.77(
cm).
答:爬行的最短路程约为10.77
cm.
变式：如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（ ）
A.
16cm
B.
18cm
C.
20cm
D.
24cm
解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，
过S作SE⊥CD于E，
则SE=BC=
×24=12cm，
EF=18-1-1=16cm，
在Rt△FES中，由勾股定理得：EF2+ES2=SF2
∴
SF=20（cm）
答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度20cm．
例2
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图14.2.3所示的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂门上方为半圆形拱门)?
分析：由于车宽1.6米,所以卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高即可.如图14.2.3所示，点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面相交于点H.
解：在Rt△OCD中，由勾股定理,可得
CD=
=
=
0.6,
CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9>2.5.
可见高度上有0.4米的余量,因此卡车能通过厂门。
做一做
如图14.2.4,以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点,过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形.
注意:勾股定理在生活中的应用十分广泛，利用勾股定理解决问题，关键是找出问题中隐藏的直角三角形或自己构造合适的直角三角形，尝试把立体图形转换为平面图形.
课堂练习：1、如图，一个无盖长方形盒子的长、宽、高分别是4cm，4cm，6cm，一只蚂蚁想从盒底的A点沿盒的表面爬到盒顶的B点，蚂蚁要爬的最短路程是（ ）
A.
5cm
B.
8cm
C.
10cm
D.9cm
解：长方体展开，将长方体展开，进而得出最短路线．
可得：AB2=62+82=100
∴AB=10（cm），
故最短路程为10cm；
故选：C．
2、如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是（ ）cm．
A.
35
B.
40
C.
50
D.
45
解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．
设水深h尺，由题意得：
Rt△ABC中，AB=h，AC=h+30，BC=60，
由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，
即（h+30)2=h2+602，
解得：h=45．
故选：D．
3、如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（ ）km.
A.
4
B.
5
C.
6
D.
9
解：设BE=x，则AE=（10-x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2=AD2+AE2=42+(10-x)2，
在Rt△BCE中，
CE2=BC2+BE2=62+x2，
由题意可知：DE=CE，
所以，62+x2=42+(10-x)2，
解得x=4km．
所以，EB的长是4km．
所以，EA=10-4=6（km）．
故选：C．
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精品试卷·第
2
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