江西省九江第三高级中学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版含答案

九江三中2020-2021学年度下学期期中考试试卷
高二数学 理科
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知false，false均为实数，则false是false的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．若复数false满足false，false是false的共轭复数（其中false是虚数单位），则（ ）
A．false的实部是2 B．false
C．false D．复数false在复平面内对应的点在第一象限
3．设false的三内角false、false、false成等差数列，false、false、false成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．若false，给出下列不等式：
①false；②false；③false；④false
其中正确的不等式是（ ）
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
5．设公差为-2的等差数列，如果false，那么false（ ）
A．-72 B．-78
C．-182 D．-82
6．设函数false在false处可导，且false，则false等于（ ）
A．false B．false
C．1 D．-1
7．用数学归纳法证明：
“false”，由false到false时，等式左边需要添加的项是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
8．已知false，设false，false满足约束条件false，false的最大值与最小值的比值为false，则（ ）
A．false为定值-1 B．false不是定值，且false
C．false为定值-2 D．false不是定值，且false
9．false的展开式中false的项的系数为（ ）
A．120 B．80
C．60 D．40
10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个．若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
11．抛物线false的焦点false与双曲线false的右焦点相同，抛物线false与双曲线false的两条渐近线分别交于false，false两点，且直线false恰好过点false，则双曲线false的离心率为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
12．若函数false，则满足false恒成立的实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知曲线false，false的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为______．
14．如图，已知点false，点false在曲线false上移动，过false点作false垂直false轴于false，若图中阴影部分的面积是四边形false面积的false，则false点的坐标为______．

15．已知等比数列false满足false，false，则使得false取得最小值的false为______．
16．已知复数false对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数false的陈述如下（false为虚数单位）：
甲：false；乙：false；丙：false；丁：false
在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数false______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数false，false，false．
（1）false，有false，求实数false的取值范围；
（2）若不等式false的解集为false，正数false、false满足false，求false的最小值．
18．现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法?
（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法?
（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法?
19．锐角false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，false．
（1）若false，false，求false：
（2）若false，求false的取值范围．
20．如图，四棱锥false中，平面false平面false，底面false为梯形，false，false，false，且false与false均为正三角形，false为false的重心．

（1）求证：false平面false；
（2）求平面false与平面false所成锐二面角的余弦值．
21．已知椭圆false的焦距为false，且过点false．
（1）求椭圆false的标准方程；
（2）过椭圆false的右焦点false作直线false交椭圆false于false，false两点，交false轴于false点，若false，false，求证：false为定值．
22．已知函数false
（1）讨论函数false的单调区间；
（2）设false，false是函数false的两个极值点，证明：false恒成立．
九江三中2020-2021学年度下学期期中考试参考答案
高二数学 理科
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．C 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A 7．D 8．C 9．A 10．C
11．D 12．D
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．false 14．false 15．3 16．false
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解：（1）由false，有false，
得false恒成立，
所以false，
由false，
所以false，
所以false；
（2）由不等式false的解集为false，得false，
解得false，
false解得false，
将false代入false，整理得false，
false，
所以false，
当且仅当false时取等号，
故false的最小值为9．
18．解：（1）根据题意，四个班共34人，要求从34人中，选其中一人为负责人，
即有false种选法：
（2）根据题意，分析可得：从一班选一名组长，有7种情况，
从二班选一名组长，有8种情况，从三班选一名组长，有9种情况，
从四班选一名组长，有10种情况，
所以每班选一名组长，不同的选法共有：false（种）．
（3）根据题意，分六种情况讨论，
①从一、二班学生中各选1人，有false种不同的选法；
②从一、三班学生中各选1人，有false种不同的选法，
③从一、四班学生中各选1人，有false种不同的选法；
④从二、三班学生中各选1人，有false种不同的选法；
⑤从二、四班学生中各选1人，有false种不同的选法；
⑥从三、四班学生中各选1人，有false种不同的选法，
所以不同的选法共有：
false（种）．
19．解：（1）由题意得，false，false，
可得false，故false，
由余弦定理得false，即false，
又因为false，所以解得false，
故false是等边三角形，false；
（2）由正弦定理得false，即false，
因为false是锐角三角形，
所以false，false，false，
解得false，所以false，
即false的取值范围为false
20．解：（1）证明：设false的中点为false，连接false，false，false，
false，false，false，
false，
∵false为false的重心，false，false，
false平面false，false平面false，
false平面false
（2）设false为false的中点，false为正三角形，则false，
∵平面false平面false，平面false平面false，
false平面false，

过false分别作false，false的平行线，如图建立空间直角坐标系false，
则false，false，false，false，false，
设平面false的法向量false，
则false，取false，得false，
设平面false的法向量false，
则false，取false，得false，
设平面false与平面false所成锐二面角的平面角为false，
则平面false与平面false所成锐二面角的余弦值为：
false．
21．解：（1）因为椭圆false的焦距为false，所以false，
又∵椭圆false过点false，false，且满足false，
可得false，false，椭圆false的标准方程为：false；
（2）设点false、false，false，
由题意可知，直线false的斜率存在，可设直线false的方程为false，
联立false，可得false，
由于点false在椭圆false的内部，直线false与椭圆false必有两个交点，
由韦达定理可得false，false，
false，false，false，
得false，false，
false，false，
false．
22．解：（1）false的定义域为false，
false，
①当false时，令false，得false，
令false，得false，
所以false在false上单调递增，在false上单调递减；
②当false时，令false，得false或false，
令false，得false，
所以false在false，false上单调递增，在false上单调递减；
③当false时，则false，所以在false上false单调递增，
④当false时，令false，得false或false，
令false，得false，
所以false在false，false上单调递增，在false上单调递减；
综上，当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减；
当false时，false在false，false上单调递增，在false上单调递减；
当false时，false在false上单调递增；
当false时，false在false，false上单调递增，在false上单调递减；
（2）证明：false，则false的定义域为false，
false，
若false有两个极值点false，false，
则方程false的判别式false，
且false，false，
解得false，
又false，false，即false，
所以false
false
false
false
false，
设false，其中false，false，
由false得false，又false，
所以false在区间false内单调递增，在区间false内单调递减，
即false的最大值为false，
从而false恒成立．