江西省九江第三高级中学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版含答案

九江三中2020-2021学年度下学期期中考试试卷
高二数学（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知集合false，false，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
2．若复数false满足false，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
3．下列函数中，在false单调递增且图象关于坐标原点对称的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
4．2020年11月24日凌晨4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅．据科学家们测算：火箭的最大速度至少达11．2千米/秒时，可将嫦娥五号探测器顺利送入外太空．若火箭的最大速度false（单位：米/秒）、燃料的质量false（单位：吨）和嫦娥五号探测器的质量false（单位：吨）近似满足函数关系式false，当燃料质量与嫦娥五号探测器质量的比值至少为（ ）顺利送入外太空．

A．9 B．99
C．999 D．9999
5．已知平面向量false，false满足false，且false，则false与false的夹角为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
6．已知两个平面false，false，直线false，false，直线false，false，则下列命题正确的是（ ）
A．若false，false，则false
B．若false，false，则false
C．若false，false相交，false，false，则false
D．若false，false相交，false，false，则false
7．己知角false的终边与单位圆交于点false，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
8．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为60秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待25秒才出现绿灯的概率为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
9．已知样本数据为false，false，false，false，该样本平均数为2021，方差为1，现加入一个数2021，得到新样本的平均数为false，方差为false，则（ ）
A．false，false B．false，false
C．false，false D．false，false
10．在false中，false，false，则false的面积的最大值为（ ）
A．false B．1 C．false D．false
11．乔家大院是著名的旅游景点，在景点的一面墙上，雕刻着如图（1）所示的浮雕，很好地展现了灿烂辉煌的“晋商文化”．某陶艺爱好者，模仿着烧制了一个如图（2）的泥板作品，但在烧制的过程中发现，直径为false的作品烧制成功后直径缩小到false．若烧制作品的材质、烧制环境均不变，那么想烧制一个体积为false的正四面体，烧制前的陶坯棱长应为（ ）

A．false B．false
C．false D．false
12．设false，false是双曲线false的左、右焦点，一条渐近线方程为false，false为双曲线上一点，且false，则false的面积等于（ ）
A．6 B．12 C．false D．false
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．曲线false在点false处的切线方程为______.
14．设false，false，false，则false，false，false的大小关系是______.（按照从大到小的顺序排列）
15．若双曲线false的左焦点在抛物线false的准线上，则false______.
16．函数false，false，有下列命题：
①false的表达式可改写为false；
②直线false是函数false图象的一条对称轴；
③函数false的图象可以由函数false的图象向右平移false个单位长度得到；
④满足false的false的取值范围是false.
其中正确的命题序号是______.（注：把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
（一）必考题：共60分．
17．已知公差不为0的等差数列false满足false，且false，false，false成等比数列．
（1）求数列false的通项公式；
（2）若false，求数列false的前false项和false．
18．如图，已知点false为正方形false所在平面外一点，false是边长为2的等边三角形，点false是线段false的中点，平面false平面false．

（1）证明：false平面false；
（2）求三棱锥false的体积．
19．2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分．学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在false间，并得到如图所示频率分布直方图，计分规则如表：
一分钟跳绳个数
false
false
false
false
false
得分
16
17
18
19
20
（1）补全频率分布直方图．若每分钟跳绳成绩为16分，则认为该学生跳绳成绩不合格，求在进行测试的100名学生中跳绳成绩不合格的人数为多少?

（2）学校决定由这次跳绳测试得分最高的学生组成“小小教练员”团队，小明和小华是该团队的成员，现学校要从该团队中派2名同学参加某跳绳比赛，求小明和小华至少有一人被选派的概率．
20．已知椭圆false的离心率是false，椭圆false过点false.
（1）求椭圆false的方程；
（2）已知false，false是椭圆false的左、右焦点，过点false的直线false（不过坐标原点）与椭圆false交于false，false两点，求false的取值范围．
21．已知函数false.
（1）当false时，求函数false的单调区间；
（2）设函数false，若false在false内有且仅有一个零点，求实数false的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“心形曲线”，又名false心形线．如果以坐标原点false为极点，以false轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其false心形线的极坐标方程为false.

（1）求false心形线的直角坐标方程；
（2）已知直线false过点false，且倾斜角为120°，若直线false与false心形线交于false，false两点．求false的值．
23．设函数false．
（1）求不等式false的解集；
（2）若false的最小值是false，false，false，且false，求false的最小值．
九江三中2020-2021学年度下学期期中考试参考答案
高二数学（文科）
1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．C
7．C 8．C 9．B 10．D 11．C 12．A
13．false 14．false
15．6 16．①④
17．解：（1）设等差数列false的公差为false，
由题意，false，解得false.
∴数列false的通项公式false；
（2）false
∴数列false的前false项和false.
18．（1）证明：连接false，设false，连接false，
因为底面false是矩形，
所以false为false的中点，
又因为false是false的中点，
所以false为false的中位线，
所以false，
因为false平面false，false平面false，
所以false平面false；

（2）解：在正方形false中，false，
又因为平面false平面false，
且平面false平面false，所以false平面false，
因为false为等边三角形，且false为线段false的中点，
所以false，
所以false.
19．解：（1）如图补全频率分布直方图如下：

若一分钟跳绳成绩为16分，则一分钟跳绳个数在false，
根据频率分布直方图100名学生中跳绳成绩不合格人数为：
false（人）．
（2）跳绳测试得分最高的学生一分钟跳绳个数在false，
根据频率分布直方图，其人数为：false（人），
记小明为false，小华为false，其余四人为false，false，false，false，
则在这六人中选两人参加比赛的所有情况如下：
false，false，false，false，false，false，false，false，false，
false，false，false，false，false，false，共15种，
其中小明和小华至少有一个被选派的情况有：
false，false，false，false，false，false，false，false，false，共9种，
∴小明和小华至少有一人被选派的概率为：false.
20．解：（1）由条件知false，解得false，
因此椭圆false的方程为false．
（2）设false，false，则false，false，
设直线false的方程为false，
代入椭圆false的方程消去false，得false，
由韦达定理得false，false，
false
false
false，
false，false，则false，
false.
21．解：（1）false的定义域为false，
false，
①当false时，令false，得到false；
令false，得到false或false，
此时false在false上为减函数，在false和false上为增函数；
②当false时，显然false恒成立，此时false在false上为增函数；
③当false时，令false，得到false，
令false，得到false或false，
此时false在false上为减函数，在false或false上为增函数；
综上：当false时，false在false上为减函数，在false和false上为增函数；
当false时，false在false上为增函数；
当false时，false在false上为减函数，在false和false上为增函数．
（2）false，
false在false上有且仅有一个零点，
即关于false的方程false在false上有且仅有一个实数根，
令false，false，则false，
令false，false，
则false，故false在false上单调递减，
所以false，即当false时，false，
所以false在false上单调递减，
又false，false，则false，
所以false的取值范围是false.
22．解：（1）false心形线的极坐标方程为false，
根据false，整理得false，
转换为直角坐标方程为false.
（2）直线false过点false，且倾斜角为120°，转换为参数方程为false（false为参数），
由于直线只能与false轴的右侧的部分相交，
故把直线false的参数方程为false（false为参数），代入false，
整理得false，
所以false.
23．解：（1）false，
因为false，
所以false或false或false，
解得false或false，
故不等式false的解集为false.
（2）由（1）可知false的最小值为2，即false，所以false，
则false，
当且仅当false，即false，false时等号成立，
故false的最小值为8