三角形全等证明

(共24张PPT)
§11.2 三角形全等的判定(一)
B
C
A
E
F
A
B
C
D
E
F
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C= ∠F
A
B
C
D
E
F
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C= ∠F
1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗？
2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC ≌△ DEF吗
思考：
1.只给一条边时；
3㎝
3㎝
1.只给一个条件
45
2.只给一个角时；
45
结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
①两边；
③两角。
②一边一角；
2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？
①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
6cm
6cm
4cm
4cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:
4cm
4cm
30
30
结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
45
30
45
30
③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等
两个条件
①两角；
②两边；
③一边一角。
结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。
一个条件
①一角；
②一边；
①三角；
②三边；
③两边一角；
④两角一边。
3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？
探索三角形全等的条件
已知两个三角形的三个内角分别为30°，60° ，90° 它们一定全等吗？
　　这说明有三个角对应相等的两个三角形
不一定全等
⑴三个角
已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm 。它们一定全等吗？
3cm
4cm
6cm
4cm
6cm
3cm
6cm
4cm
3cm
⑵三条边
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A’B’C’ ,使
A’B’= AB ,B’C’ =BC, A’ C’ =AC.把画好△A’B’C’的剪下，放到△ABC上，他们全等吗？
画法:
1.画线段 B’C’ =BC;
2.分别以 B’ ， C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两弧交于点A’;
3. 连接线段 A’B’ ， A’C’ .
上述结论反映了什么规律？
　　三边对应相等的两个三角形全等。
简写为“边边边”或“SSS”
边边边公理：
注： 这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。　
如何用符号语言来表达呢
在△ABC与△DEF中
A
B
C
D
E
F
AB=DE
AC=DF
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。
　A
　C
　B
　D
证明：∵D是BC的中点
∴BD=CD
在△ABD与△ACD中
AB=AC（已知）
BD=CD（已证）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
例1 如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，求证： △ABD≌△ACD
求证：∠B=∠C，
∴∠B=∠C，
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
证明的书写步骤：
练习: 已知：如图，AB=AD，BC=DC，
求证：△ABC≌ △ADC
A
B
C
D
AC
AC ( )
≌
AB=AD ( )
BC=DC ( )
∴ △ABC △ADC（SSS）
证明：在△ABC和△ADC中
=
已知
已知
公共边
BC
CB
△DCB
BF=CD
A
B
C
D
1、填空题：
解： △ABC≌△DCB
理由如下：
AB = CD
AC = BD
=
△ABC ≌ （ ）
（SSS
（1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
（2）如图，D、F是线段BC上的两点，
AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，
还需要条件
A
E
B D F C
=
=
=
=
×
×
Ⅴ
Ⅴ
或 BD=FC
图1
已知：如图1 ，AC=FE，AD=FB,BC=DE
求证：△ABC≌△FDE
证明：∵ AD=FB
∴AB=FD（等式性质）
在△ABC和△FDE 中
AC=FE（已知）
BC=DE（已知）
AB=FD（已证）
∴△ABC≌△FDE（SSS）
求证：∠C=∠E ，
A
c
E
D
B
F
=
=


。
。
（2）∵ △ABC≌△FDE（已证）
∴ ∠C=∠E （全等三角形的对应角相等）
求证：AB∥EF；DE∥BC
已知:如图，AB=AC,DB=DC,
请说明∠B =∠C成立的理由
A
B
C
D
在△ABD和△ACD中，
AB=AC (已知）
DB=DC （已知）
AD=AD （公共边）
∴△ABD≌△ACD (SSS)
解：连接AD
∴ ∠B =∠C (全等三角形的对应角相等）
已知: 如图, 四边形ABCD中，AD=CB,AB=CD
求证： ∠A＝ ∠C。
A
C
D
B
分析：要证两角或两线段相等，常先证这两角或两线段
所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。
构造公共边是常添的辅助线
1
2
3
4
已知：AC=AD,BC=BD,
求证：AB是∠DAC的平分线.
∵ AC=AD( )
BC=BD( )
AB=AB( )
∴△ABC≌△ABD( )
∴∠1=∠2
∴AB是∠DAC的平分线
A
B
C
D
1
2
（全等三角形的对应角相等）
已知
已知
公共边
SSS
（角平分线定义）
证明:在△ABC和△ABD中
1.边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等 简写成“边边边”（SSS）
2.边边边公理发现过程中用到的数学方法（包括画图、猜想、分析、归纳等.)
3.边边边公理在应用中用到的数学方法:
证明线段(或角)相等 转 化 证明线段(或角)所在的两个三角形全等.
两个三角形全等的注意点：
1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
小结:
3. 有时需添辅助线(如:造公共边)