2.2基本不等式（第1课时）课件(共19张PPT)—2021－2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

(共19张PPT)
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.2
基本不等式
（第1课时）
情景引入
——赵爽弦图
思考1：这图案中含有怎样的几何图形？
思考2：你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？
1、大正方形的面积S=
；
2、四个直角三角形的的面积之和S’=
；
3、S与S’有什么样的关系
？
4、S与S’有可能相等吗？
探究发现
探究发现
总结：当，时，
，
当且仅当时，等号成立。
几何画板显示动态变化过程
归纳新知
——重要不等式
一般地，，，有
，
当且仅当时，等号成立。
如何证明？
证明：有，当且仅当时，
等号成立
，当且仅当时，等号成立
探究发现
——重要不等式
一般地，，，有
，
当且仅当时，等号成立。
，分别代替上式中的
即：
即：
当且仅当时，等号成立
归纳新知
——基本不等式
特别地，如果，，则有
，
当且仅当时，等号成立。
为什么？
几何平均数
算术平均数
文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
证明：如果，，则有，当且仅当时，等号成立。
证明：要证
，
①
只要证
.
②
要证
②，只要证
.
③
要证
③，只要证
.
④
显然，④成立，当且仅当时，④中的等号成立.
探究
——基本不等式的证明
分析法
探究
——基本不等式的几何意义
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC，BC.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.
1、如何用表示OD？
2、如何用表示CD？
3、OD与CD的大小关系怎样？
OD
CD
几何意义：半径OD不小于半弦长CD
典例讲解
——基本不等式的应用
例1
已知都是正数，求：
（1）如果
，那么当取什么值时，取得最小值？最小值是多少？
解：
当且仅当时，等号成立
的最小值为12.
定值P
如果积等于定值
，那么当时，和有最小值
（积定和最小）
典例讲解
——基本不等式的应用
例1
已知都是正数，求：
（2）如果
，那么当取什么值时，取得最大值？最大值是多少？
解：
当且仅当时，等号成立
的最小值为81.
定值S
如果和等于定值
，那么当时，积有最大值
（和定积最大）
归纳
1、基本不等式：如果，，则有，当且仅当时，等号成立
2、利用基本不等式求最值需要同时满足三个条件：
一正：均为正数
二定：与有一个为定值
三相等：等号必须取到
3、积定和最小，和定积最大。
4、基本不等式的变形：
典例讲解
——基本不等式的应用
例2
已知，求的最小值.
解：
当且仅当，即1时，等号成立
的最小值为2.
一正
二定
三相等
变式训练
1、
已知，则的最小值为
.
2、
已知，，且，则的最小值为
.
3、
的最小值等于
.
1、解：
当且仅当，即时，等号成立
的最小值为.
变式训练
1、
已知，则的最小值为
.
2、
已知，，且，则的最小值为
.
3、
的最小值等于
.
2、解：，
当且仅当，即时，等号成立
的最小值为.
变式训练
1、
已知，则的最小值为
.
2、
已知，，且，则的最小值为
.
3、
的最小值等于
.
3、解：
当且仅当，即时，等号成立
的最小值为.
变式训练
4、下列命题正确的是（
）
A、当时，的最小值为
B、若，且，则
C、的最小值是2
D、当时，的最小值是
解析：C、不满足“三相等”：，即
无实数解，等号取不到
不满足“一正”
最大值
不满足“三相等”
D、
B
变式训练
5、已知正数满足，则有（
）
A、最小值12
B、最大值12
C、最小值144
D、最大值144
解析：
，即
当且仅当，即，时，等号成立
C
课堂小结
1、两个不等式
重要不等式
基本不等式
形式
适用范围
等号成立的条件
2、利用基本不等式求最值需要满足三个条件：
一正二定三相等