2.2基本不等式（第2课时）课件（26张PPT）—2021－2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
（第2课时）
知识回顾
1、两个不等式
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
重要不等式
基本不等式
形式
适用范围
等号成立的条件
????????+????????≥????????????
?
????????≤????+????????
?
????，????∈????
?
????>????，????>????
?
????=????
?
????=????
?
2、利用基本不等式求最值需要满足三个条件：
一正二定三相等
题型一：利用基本不等式求最值
【例1】（1）已知????>????，求????+????????的最小值；
（2）已知?????
解：（1）∵????>????
∴????+????????≥?????????????????=????
当且仅当????=????????，即????=????时，等号成立
∴????+????????的最小值为4.
?
题型一：利用基本不等式求最值
【例1】（1）已知????>????，求????+????????的最小值；
（2）已知?????
解：（2）∵????0
∴?????+?????????≥???????????????????=????
当且仅当?????=?????????，即????=?????时，等号成立
∴????+????????=??????+?????????≤?????
∴????+????????的最大值为4.
?
题型一：利用基本不等式求最值
【例1】（1）已知????>????，求????+????????的最小值；
（2）已知?????
变符号：
利用基本不等式求最值需要满足三个条件（一正二定三相等），若不正，用其相反数，根据不等式的性质，注意改变不等号的方向。
题型一：利用基本不等式求最值
【例1】（3）已知????>????，求????+?????????????的最小值；
（4）已知?????
解：（3）∵????>????，∴?????????>????
∴????+?????????????=?????????+?????????????+????
≥???????????????????????????+????=????
当且仅当?????????=?????????????，即????=????时，等号成立
∴?????????+?????????????的最小值为4.
?
题型一：利用基本不等式求最值
【例1】（3）已知????>????，求????+?????????????的最小值；
（4）已知?????
解：（4）∵???? ∴?????????????????=????????×?????????????????????
???≤????????×????????+?????????????????????=????????
当且仅当????????=?????????????，即????=????????时，等号成立
∴?????????????????的最大值为????????.
?
题型一：利用基本不等式求最值
【例1】（3）已知????>????，求????+?????????????的最小值；
（4）已知?????
配式配系数：
利用基本不等式求最值需要满足三个条件（一正二定三相等），若不定，根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，凑出定和或定积。
题型一：利用基本不等式求最值
【例1】（5）已知????>????，求????????+????????+????????的最小值；
（6）已知????>????，求?????????????????的最小值；
?
解：（5）∵????>????
∴????????+????????+????????=????+????????+????≥?????????????????+????=????
当且仅当????=????????，即????=????时，等号成立
∴????????+????????+????????的最小值为????.
?
题型一：利用基本不等式求最值
【例1】（5）已知????>????，求????????+????????+????????的最小值；
（6）已知????>????，求?????????????????的最小值；
?
解：（6）∵????>????，∴?????????>????
∴?????????????????=?????????????+?????????????+?????????????=?????????+?????????????+????
≥???????????????????????????+????=????
当且仅当?????????=?????????????，即????=????时，等号成立
∴?????????????????的最小值为????.
?
题型一：利用基本不等式求最值
【例1】（5）已知????>????，求????????+????????+????????的最小值；
（6）已知????>????，求?????????????????的最小值；
?
裂项拆项：
对分子次数不低于分母次数的分式进行拆分——拆成整式和分式的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件。
题型一：利用基本不等式求最值
【例1】（7）已知????>????，????>????，且满足????????+????????=????，求????+????????的最小值；
?
解：（7）∵????>????，????>????，????????+????????=????
∴????+????????=????+????????????????+????????=????????????????+????????+????????
≥?????????????????????????????+????????=????????
当且仅当????????????????=????????，即????=????????，????=????时，等号成立
∴????+????????的最小值为????????.
?
题型一：利用基本不等式求最值
【例1】（8）已知????>????，????>????，且满足????+????????=????，求????????+????????的最小值；
?
解：（8）∵????>????，????>????，????+????????=????
∴????????+????????=????????????+????????????????+????????=????????????????????????+????????+????????
≥?????????????????????????????????????+????????=????
当且仅当??????????????=????????，即????=????????，????=????????时，等号成立
∴????????+????????的最小值为????.
?
题型一：利用基本不等式求最值
【例1】（7）已知????>????，????>????，且满足????????+????????=????，求????+????????的最小值；
（8）已知????>????，????>????，且满足????+????????=????，求????????+????????的最小值；
?
“1”的代换：
已知条件给出了定值，把确定的定值变形为1，把“1”的表达式与所求最值得表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式，利用基本不等式求最值。
变式训练
1、已知????2、已知????3、已知????>????，求????????????????+????的最大值；
4、已知????>????，????>????，且满足????+????????=????，求????????+????????的最小值.
?
1、解法一：∵????????
∴?????????????????=?????????????????≤????????+?????????????????=????????
当且仅当????=?????????，即????=????????时，等号成立
∴?????????????????的最大值为????????.
解法二：∵???? ∴?????????????????=?????????????+????????=??????????????????????+????????≤????????
当????=????????时，等号成立
∴?????????????????的最大值为????????.
?
解析：
2、∵????????
∴?????????????+?????????????????=??????????????+?????????????????+????
≤????????????????????????????????????+????=????
当且仅当?????????????=?????????????????，即????=????时，等号成立
∴?????????????+?????????????????的最大值为????.
?
解析：
3、∵????????????????+????=????????+????????
∵????>????，∴????+????????≥?????????????????=????
当且仅当????=????????，即????=????时，等号成立
∴????????????????+????=????????+????????≤????????=????
∴????????????????+????的最大值为????.
?
解析：
解析：
????、∵????>????，????????>????，????????+????????=????
∴????????+????????=????????+??????????+????????=????????????+????????????+????
≥?????????????????????????????+????=????
当且仅当????????????=????????????，即????=????=????????时，等号成立
∴????????+????????的最小值为9.
?
题型二：利用基本不等式解决实际问题
【例2】（1）用篱笆围一个面积为100????????的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
?
解：设矩形菜园相邻两条边的长分别为?????????，?????????，篱笆的长度为????????+?????????.
?
（1）由已知得????????=????????????
∴????????+????≥????×????????????=????????
当且仅当????=????=????????时，等号成立
∴当这个矩形菜园为边长10m的正方形时，所用篱笆最
短，最短篱笆的长度为40m.
?
题型二：利用基本不等式解决实际问题
【例2】（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形菜园相邻两条边的长分别为?????????，?????????，篱笆的长度为????????+?????????.
?
（2）由已知得????????+????=????????，即????+????=????????，矩形菜园的
面积为?????????????2.
∴????????≤????+????????????=????????????????=????????
当且仅当????=????=????时，等号成立
∴当这个矩形菜园为边长9m的正方形时，菜园的面积最
大，最大面积是81?????2.
?
归纳
在应用基本不等式解决实际问题时，应按如下步骤进行：
（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
（4）正确写出答案．
题型二：利用基本不等式解决实际问题
【例3】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800????,????，深为3????.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
?
解：设贮水池池底相邻两条边的长分别为?????????，?????????，水池的总造价为????元.根据题意，有????????????=????????????????，即????????=????????????????
?
????=????????????×????????????????????+????????????????×????????+????×????????
=????????????????????????+????????????????+????
≥????????????????????????+????????????×????????????=????????????????????????
当且仅当????=????=????????时，等号成立
∴将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元。
?
题型三：利用基本不等式证明不等式
【例4】已知????，????，????为不全相等的正实数，求证：
????+????+????>????????+????????+????????.
?
证明：∵????>????，????>????，????>????
∴????+????≥????????????，????+????≥????????????，????+????≥????????????
∴2????+????+????≥2????????+????????+????????
即????+????+????≥????????+????????+????????.
∵ ????，????，????为不全相等的正实数
∴????+????+????>????????+????????+????????
?
归纳
利用基本不等式证明不等式的条件要求：
（1）利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果；
（2）注意多次运用基本不等式是，要考虑等号能否取到。
变式训练
已知????，????，????均为正实数，且????+????+????=????，求证：
????????+????????+????????≥????.
?
证明：∵????????+????????+????????=????+????+????????+????+????+????????+????+????+????????
=????+????????+????????+????????+????????+????????+????????
≥????+????+????+????=????
当且仅当????=????=????=????????时，等号成立
∴????????+????????+????????≥????