考前最后一轮基础知识巩固之第四章 第1课 向量的概念及基本运算

第1课　向量的概念及基本运算
【考点导读】
理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.
掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.
了解平面向量基本定理及其意义.
【基础练习】
1.出下列命题：①若，则；②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是且；⑤若，，则。其中，正确命题材的序号是②③
2. 化简得
3.在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为梯形
4.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，
若＝a，＝b，则＝，
＝ (用a、b表示)
5.设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值为
【范例导析】
如图，中，分别是的中点，为交点，若=，=，试以、为基底表示、、
分析：本题可以利用向量的基本运算解决.
解：
是△的重心，
点拨: 利用一直向量表示未知向量的依据是平面向量基本定理，在解题中，应尽可能地转化到平行四边形或三角形中，结合向量的加减法、数乘运算解决.
例2.已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
求证：.
分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明.
证明：如图，连接EB和EC ，
由和可得， （1）
由和可得， （2）
（1）+（2）得， （3）
∵E、F分别为AD和BC的中点，∴，，
代入（3）式得，
点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.
例3.已知不共线，,求证：A,P,B三点共线的充要条件是
分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.
解：先证必要性：若A,P,B三点共线，则存在实数，使得,即,∴∵,∴，∴
再证充分性：若则==,∴
与共线，∴A,P,B三点共线.
点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题.
反馈练习：
1．已知向量a和b反向，则下列等式成立的是（C）
A. |a|－|b|=|a－b| B. |a|－|b|=|a+b|
C.|a|＋|b|=|a－b| D. |a|＋|b|=|a+b|
2.设四边形ABCD中，有则这个四边形是（C）
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
3.设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=||·;(2)若与a0平行，则=||·；（3）若与平行且||=1，则=。上述命题中，假命题个数是3
4.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么O点的位置为AD的中点
5.在 ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=,则 =
6.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
①，②，③。
解析：①原式= ；
②原式= ；
③原式= 。
7.设为未知向量， 、为已知向量，满足方程2(5+34)+3=0， ( http: / / www. / )
则=（用、表示）
8.在四面体O-ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则=（用a，b，c表示）
9.已知点C在内，。
设，则等于3
10.如图平行四边形OADB的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,设
解：
.
11.设两个非零向量、不共线，如果（1）求证：三点共线.
（2）设、是两个不共线的向量，已知,若三点共线，求的值.
解：（1）证明：因为
所以
又因为
得
即
又因为公共点
所以三点共线；
（2）解：
因为共线，所以.
设，所以 即；
O
A
P
Q
B
a
b
第4题
A
G
E
F
C
B
D
例1
D
C
E F
A B
例2
第10题