考前最后一轮基础知识巩固之第四章 第3课 向量的坐标运算

第3课　向量的坐标运算
【考点导读】
掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.
3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题.
【基础练习】
1 若=，=，则=
2 ( http: / / www. / ) 平面向量中，若，=1，且，则向量=
3.已知向量，且A、B、C三点共线，则k=
4.已知平面向量，，且，则1
5.已知向量,向量则的最大值，最小值分别是
【范例导析】
例1、平面内给定三个向量，回答下列问题：
（1）求满足的实数m,n；
（2）若，求实数k；
（3）若满足，且，求
分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.
解：（1）由题意得
所以，得
（2）
（3）设，则
由题意得
得或∴
点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。
例2.已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求及点D的坐标、
分析:注意向量坐标法的应用,及平行、垂直的充要条件.
解：设点D的坐标为(x,y)
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，∴⊥
又∵C、B、D三点共线，
∴∥
又=(x－2,y－1), =(－6,－3)
=(x－3,y－2)
∴
解方程组，得x=,y=
∴点D的坐标为(，)，的坐标为(－，)
点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题.
例3．已知向量且
求（1）及；（2）若的最小值是，求的值。
分析:利用向量的坐标运算转化为函数的最值问题求解.
解：（1）
，
。
（2）
当时，
当时，
当时，
综上所述：。
点拨:注意运用不同章节知识综合处理问题,对于求二次函数得分最值问题,注意分类讨论.
反馈练习：
1．已知向量，，则与 （A）www.
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
2.与向量a=b=的夹解相等，且模为1的向量是
3.点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（10，－5）
4.已知向量且则向量等于
5.已知向量120°
6.若，试判断则△ABC的形状____直角三角形_____
7.已知向量，向量，则的最大值是4
8.若是非零向量且满足， ，则与的夹角是
9.已知与，要使最小，则实数的值为
10.已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）
（1）若||，且，求的坐标；
（2）若||=且与垂直，求与的夹角.
解：（1）设，由和可得：
∴ 　或
∴，或
（2） 即
∴ ， 所以
∴ ∵
∴ .
11.已知点是
且试用
解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.
由OA=2，，所以，
易求，设
.
12.已知，，其中 ( http: / / www. / )
(1)求证： 与互相垂直；
(2)若的长度相等，求的值(为非零的常数)
解：（1）证明：∵
∴ 与互相垂直
（2）；
而
，
例2
第11题