第四章 4.5
请同学们认真完成
[练案10]
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)＝2x2的图像上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为( )
A．4
B．4x
C．4＋2(Δx)2
D．4＋2Δx
2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
3．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A．3
B．2
C．1
D．4
4．有一组实验数据如表所示：
t
1
2
3
4
5
s
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a＞1)
B．y＝ax＋b(a＞1)
C．y＝ax2＋b(a＞0)
D．y＝logax＋b(a＞1)
5．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3
B．2
C．3
D．－2
二、填空题
6．函数y＝－2x＋1在任意区间上的平均变化率为____，也就是说自变量每增加一个单位，函数值将____个单位．
7．函数y＝x2与函数y＝xln
x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是___．
8．质点运动规律s＝gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于____.(g＝10
m/s2)
三、解答题
9．计算函数y＝log3x在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率，并以此说明函数值变化的规律．
10．已知f(x)＝2x，g(x)＝3x，分别计算这两个函数在区间[2,3]上的平均变化率，并比较它们的大小．
[解析] f(x)＝2x在[2,3]上的平均变化率为＝＝4，
g(x)＝3x在[2,3]上的平均变化率为＝＝18．
∴f(x)在[2,3]上的平均变化率小于g(x)在[2,3]上的平均变化率．
B级 素养提升
一、选择题
1．f(x)＝3x与f(x)＝3x在[a，a＋1]上的平均变化率分别为k1，k2，当k2＞k1时，a的取值范围为( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．
D．
2．某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数
3．函数f(x)＝从1到a的平均变化率为，则实数a的值为( )
A．10
B．9
C．8
D．7
4．(多选题)下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法错误的是( )
A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
二、填空题
5．函数y＝log3x在[a，a＋1](a＞0)上平均变化率大于1，则a的取值范围为____．
6．已知函数f(x)的定义域为R．
(1)若f(x)在任意区间内的平均变化率均为正数，则f(x)是____函数(填“增”或“减”)；
(2)若f(x)在任意区间内的平均变化率均比g(x)＝2在同一区间内的平均变化率小，则f(x)是____函数(填“增”或“减”)．
7．函数y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为____．
三、解答题
8．下面是y随x的增大而得到的函数值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y＝2x
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1
024
y＝x2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
y＝2x＋7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
y＝log2x
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
3.170
3.322
试问：
(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长速度的快慢有什么不同？
9．巍巍泰山为五岳之首，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受．下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
第四章 4.5
请同学们认真完成
[练案10]
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)＝2x2的图像上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为( D )
A．4
B．4x
C．4＋2(Δx)2
D．4＋2Δx
[解析] ＝＝4＋2Δx．
2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( B )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
3．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( B )
A．3
B．2
C．1
D．4
[解析] 由已知得：＝3，
∴m＋1＝3，∴m＝2．
4．有一组实验数据如表所示：
t
1
2
3
4
5
s
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是( C )
A．y＝logax(a＞1)
B．y＝ax＋b(a＞1)
C．y＝ax2＋b(a＞0)
D．y＝logax＋b(a＞1)
[解析] 通过所给数据可知s随t的增大而增大，其增长速度越来越快，而A，D表示的函数增长越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，只有C表示的函数符合题意．
5．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( C )
A．－3
B．2
C．3
D．－2
[解析] 根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3．
二、填空题
6．函数y＝－2x＋1在任意区间上的平均变化率为__－2__，也就是说自变量每增加一个单位，函数值将__减小2__个单位．
[解析] ＝＝＝－2，∴自变量每增加一个单位，函数值将减小2个单位．
7．函数y＝x2与函数y＝xln
x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是__y＝x2__．
[解析] 当x变大时，x比ln
x
增长要快，∴x2要比xln
x增长的要快．
8．质点运动规律s＝gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于__30＋5Δt__.(g＝10
m/s2)
[解析] Δs＝g×(3＋Δt)2－g×32＝×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，＝＝30＋5Δt．
三、解答题
9．计算函数y＝log3x在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率，并以此说明函数值变化的规律．
[解析] 因为＝，所以y＝log3x在区间[1,2]上的平均变化率为＝log32．
在区间[2,3]上的平均变化率为＝log3，
∴函数y＝log3x在区间[1,2]与[2,3]上均是增函数，
又log32＞log3∴函数值y增加的速度越来越慢．
10．已知f(x)＝2x，g(x)＝3x，分别计算这两个函数在区间[2,3]上的平均变化率，并比较它们的大小．
[解析] f(x)＝2x在[2,3]上的平均变化率为＝＝4，
g(x)＝3x在[2,3]上的平均变化率为＝＝18．
∴f(x)在[2,3]上的平均变化率小于g(x)在[2,3]上的平均变化率．
B级 素养提升
一、选择题
1．f(x)＝3x与f(x)＝3x在[a，a＋1]上的平均变化率分别为k1，k2，当k2＞k1时，a的取值范围为( D )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．
D．
[解析] 对f(x)＝3x，＝3，对f(x)＝3x，＝＝2×3a，
由2×3a＞3时，得a＞log3．
所以a∈．
2．某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( D )
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数
[解析] 本题考查对常见函数模型不同增长特点的理解．四种函数模型中只有对数型函数具有初期利润增长迅速、后来增长越来越慢的特点，故选D．
3．函数f(x)＝从1到a的平均变化率为，则实数a的值为( B )
A．10
B．9
C．8
D．7
[解析] f(x)＝从1到a的平均变化率为＝＝＝，解得a＝9．
4．(多选题)下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法错误的是( ABD )
A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
[解析] 观察函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的大致图像如图，可知：函数f(x)的图像在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图像在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图像在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．
二、填空题
5．函数y＝log3x在[a，a＋1](a＞0)上平均变化率大于1，则a的取值范围为____．
[解析] 因为＝
＝log3＞1＝log33，a＞0，
所以1＋＞3，所以0＜a＜．
6．已知函数f(x)的定义域为R．
(1)若f(x)在任意区间内的平均变化率均为正数，则f(x)是__增__函数(填“增”或“减”)；
(2)若f(x)在任意区间内的平均变化率均比g(x)＝2在同一区间内的平均变化率小，则f(x)是__减__函数(填“增”或“减”)．
[解析] 设x1，x2∈R，且x1≠x2，
(1)则有＝＞0，∴f(x)是增函数．
(2)由于g(x)＝2在[x1，x2]上的平均变化率为0，
∴＝＜0，
∴f(x)是减函数．
7．函数y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为__－__．
[解析] ∵Δy＝－，
∴＝＝－．
三、解答题
8．下面是y随x的增大而得到的函数值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y＝2x
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1
024
y＝x2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
y＝2x＋7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
y＝log2x
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
3.170
3.322
试问：
(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长速度的快慢有什么不同？
[解析] (1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
(2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其中y＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为y＝x2，增长速度也在变快；而y＝2x＋7的增长速度不变；增长速度最慢的是y＝log2x，其增长速度越来越慢．
9．巍巍泰山为五岳之首，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受．下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
[解析] 山路从A处到B处高度的平均变化率为hAB＝＝，山路从B处到C处高度的平均变化率为hBC＝＝，因为hBC＞hAB，所以山路从B处到C处比从A处到B处要陡峭的多．第四章 4.5
1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )
A．y＝ex
B．y＝100ln
x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
2．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是( )
A．2
B．2x
C．2＋Δx
D．2＋(Δx)2
3．函数f(x)＝2x＋3在任意区间上的平均变化率为____．
4．若函数f(x)在任意区间上的平均变化率为负数，则函数f(x)是单调____函数．(填“增”或“减”)
5．已知函数y＝x，分别计算函数在区间[0,1]与[1,2]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加一个单位时，函数值变化的规律．
第四章 4.5
1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( A )
A．y＝ex
B．y＝100ln
x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
[解析] 指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A．
2．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是( C )
A．2
B．2x
C．2＋Δx
D．2＋(Δx)2
[解析] ∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝＝2＋Δx，故选C．
3．函数f(x)＝2x＋3在任意区间上的平均变化率为__2__．
[解析] 函数f(x)＝2x＋3在任意区间上的平均变化率即直线的斜率2．
4．若函数f(x)在任意区间上的平均变化率为负数，则函数f(x)是单调__减__函数．(填“增”或“减”)
[解析] 若函数f(x)在任意区间上的平均变化率为负数，则函数为单调递减函数．
5．已知函数y＝x，分别计算函数在区间[0,1]与[1,2]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加一个单位时，函数值变化的规律．
[解析] 因为＝＝
所以y＝x在[0,1]上的平均变化率为1，在[
1,2]上的平均变化率为－1，可以看出自变量每增加1个单位，区间左端点值越大，函数值增加越慢．
