第四章 4.6
1．某种细菌在培养过程中，每15
min分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )
A．12
h
B．4
h
C．3
h
D．2
h
2．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( )
A．指数函数：y＝2t
B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3
D．二次函数：y＝2t2
3．今有一组实验数据如下表：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v＝log2t
B．v＝logt
C．v＝
D．v＝2t－2
4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y
(mg)与时间t
(h)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y
(mg)与时间t
(h)之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25
mg以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
第四章 4.6
1．某种细菌在培养过程中，每15
min分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( C )
A．12
h
B．4
h
C．3
h
D．2
h
[解析] 细菌的个数y与分裂次数x的函数关系为y＝2x，令2x＝212，解得x＝12，又每15
min分裂一次，所以共需15×12＝180
min，即3
h．
2．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( A )
A．指数函数：y＝2t
B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3
D．二次函数：y＝2t2
[解析] 由题意知函数的图像在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长速度很快，符合指数型函数模型，且图像过(1,2)点，所以图像由指数函数来模拟比较好，故选A．
3．今有一组实验数据如下表：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( C )
A．v＝log2t
B．v＝logt
C．v＝
D．v＝2t－2
[解析] A中，当t＝1.99时，v＝log21.99＜1，当t＝4时，v＝log24，显然A不满足；B中v＝logt，当t＝1.99，3.0，4.0，5.1,6.12时v＜0，故B不满足；D显然也不满足，故选C．
4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y
(mg)与时间t
(h)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y
(mg)与时间t
(h)之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25
mg以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
[解析] (1)由图像可知，当0≤t＜0.1时，y＝10t；
当t≥0.1时，由1＝0.1－a，得a＝0.1，
∴当t≥0.1时，y＝t－．
∴y＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(10t0≤t＜\f(1,10),\f(1,16)
t－t≥\f(1,10)))．
(2)由题意可知()t－＜0.25，得t＞0.6．
故至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．第四章 4.6
请同学们认真完成
[练案11]
A级 基础巩固
一、选择题
1．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则下列结论中正确的是( )
A．x＞22%
B．x＜22%
C．x＝22%
D．x的大小由第一年产量确定
2．某物体一天中的温度T(℃)是时间t(h)的函数：T＝t3－3t＋60.若t＝0表示中午12∶00，下午t取值为正，则上午8：00的温度是( )
A．112
℃
B．58
℃
C．18
℃
D．8
℃
3．已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度就失掉10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的以下，则至少需要重叠玻璃板数为( )
A．8
B．9
C．10
D．11
4．(多选题)如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2,3所示．你能根据图像判断下列说法错误的是( )
A．图2的建议为减少运营成本
B．图2的建议可能是提高票价
C．图3的建议为减少运营成本
D．图3的建议可能是提高票价
5．抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(参考数据：lg
2≈0.301
0)( )
A．6次
B．7次
C．8次
D．9次
二、填空题
6．已知气压P(百帕)与海拔高度h(m)的关系式为P＝1
000()，则海拔6
000
m处的气压为____．
7．某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20.y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，则市场平衡价格为____元/件．
8．已知A，B两地的距离是120
km，按交通法规规定，A，B两地之间的公路车速应限制在50～100
km/h，假设汽油的价格是6元/L，当以x
km/h速度行驶时，汽车的耗油率为L/h，支付司机每小时的工资36元．
(1)此次行车最经济的车速是____；
(2)如果不考虑其他费用，这次行车的总费用最小值为____．
三、解答题
9．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)?
B级 素养提升
一、选择题
1．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A、B产品各1件，盈亏情况是( )
A．不亏不赚
B．亏5.92元
C．赚5.92元
D．赚28.96元
2．某企业的产品成本前两年平均每年递增20%，经过改进技术，后两年的产品成本平均每年递减20%，那么该企业的产品成本现在与原来相比( )
A．不增不减
B．约增8%
C．约增5%
D．约减8%
3．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2014年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2014年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
A．y＝0.95·m
B．y＝(1－0.05)·m
C．y＝0.9550－x·m
D．y＝(1－0.0550－x)·m
4．某工厂在2018年底制订生产计划，要使2028年底的总产值在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率应为( )
A．5
B．4－1
C．3－1
D．4－1
二、填空题
5．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为____．
6．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图像如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30
m2；
③野生水葫芦从4
m2蔓延到12
m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延至2
m2、3
m2、6
m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中，正确的是____.(填序号)．
三、解答题
7．某乡镇目前人均一年占有粮食360
kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后人均一年占有y
kg粮食，求函数y关于x的解析式．
8．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2
L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5
L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？
第四章 4.6
请同学们认真完成
[练案11]
A级 基础巩固
一、选择题
1．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则下列结论中正确的是( B )
A．x＞22%
B．x＜22%
C．x＝22%
D．x的大小由第一年产量确定
[解析] 由题意设第一年产量为a，则第三年产量为a(1＋44%)＝a(1＋x)2，∴x＝0.2.故选B．
2．某物体一天中的温度T(℃)是时间t(h)的函数：T＝t3－3t＋60.若t＝0表示中午12∶00，下午t取值为正，则上午8：00的温度是( D )
A．112
℃
B．58
℃
C．18
℃
D．8
℃
[解析] 本题考查函数的应用．由题意，上午8∶00时，t＝－4，所以温度T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8(℃)，故选D．
3．已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度就失掉10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的以下，则至少需要重叠玻璃板数为( D )
A．8
B．9
C．10
D．11
[解析] 设至少需要重叠玻璃板数为n，
由题意，得(1－10%)n≤，解得n≥11．
4．(多选题)如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2,3所示．你能根据图像判断下列说法错误的是( BC )
A．图2的建议为减少运营成本
B．图2的建议可能是提高票价
C．图3的建议为减少运营成本
D．图3的建议可能是提高票价
[解析] 根据题意和图2知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得AD正确，BC错误．
5．抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(参考数据：lg
2≈0.301
0)( C )
A．6次
B．7次
C．8次
D．9次
[解析] 本题考查对数函数的应用．设至少抽x次可使容器内的空气少于原来的0.1%，则(1－60%)x＜0.1%，即0.4x＜0.001，∴xlg
0.4＜－3，∴x＞＝≈7.5，故选C．
二、填空题
6．已知气压P(百帕)与海拔高度h(m)的关系式为P＝1
000()，则海拔6
000
m处的气压为__4.9百帕__．
[解析] 将h＝6
000代入关系式，得P＝4.9百帕．
7．某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20.y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，则市场平衡价格为__30__元/件．
[解析] 由题意，知y1＝y2，∴－x＋70＝2x－20，
∴x＝30．
8．已知A，B两地的距离是120
km，按交通法规规定，A，B两地之间的公路车速应限制在50～100
km/h，假设汽油的价格是6元/L，当以x
km/h速度行驶时，汽车的耗油率为L/h，支付司机每小时的工资36元．
(1)此次行车最经济的车速是__60_km/h__；
(2)如果不考虑其他费用，这次行车的总费用最小值为__240元__．
[解析] (1)总费用为y＝36×＋×6＝＋2x≥240．
当且仅当＝2x，即x＝60
km/h时，取等号，
所以此次行车最经济的车速是60
km/h．
(2)由(1)知如果不考虑其他费用，这次行车的总费用最小值为240元．
三、解答题
9．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)?
[解析] 设新树苗的木材量为Q，则10年后有两种结果：
连续生长10年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
生长5年后重新栽树木，木材量M＝2Q(1＋18%)5．
则＝．
∵(1＋10%)5≈1.61＜2，∴＞1，即M＞N．
因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量．
B级 素养提升
一、选择题
1．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A、B产品各1件，盈亏情况是( B )
A．不亏不赚
B．亏5.92元
C．赚5.92元
D．赚28.96元
[解析] 设A产品的原价为a元，B产品的原价为b元，则a(1＋20%)2＝23.04，求得a＝16；
b(1－20%)2＝23.04，求得b＝36．
则a＋b＝52元，而23.04×2＝46.08元．
故亏52－46.08＝5.92(元)．故选B．
2．某企业的产品成本前两年平均每年递增20%，经过改进技术，后两年的产品成本平均每年递减20%，那么该企业的产品成本现在与原来相比( D )
A．不增不减
B．约增8%
C．约增5%
D．约减8%
[解析] 设原来成本为a，则现在的成本为a(1＋20%)2(1－20%)2＝0.921
6a，比原来约减8%．
3．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2014年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2014年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( A )
A．y＝0.95·m
B．y＝(1－0.05)·m
C．y＝0.9550－x·m
D．y＝(1－0.0550－x)·m
[解析] 设每年减少的百分比为a，由在50年内减少5%，得(1－a)50＝1－5%＝95%，即a＝1－(95%)．
所以，经过x年后，y与x的函数关系式为
y＝m·(1－a)x＝m·(95%)＝(0.95)
·m．
4．某工厂在2018年底制订生产计划，要使2028年底的总产值在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率应为( B )
A．5
B．4－1
C．3－1
D．4－1
[解析] 设2018年底总产值为a，∵2028年底的总产值比2018年底总产值翻两番，
∴4a＝a(1＋x)10,1＋x＝4
，∴x＝4－1．
二、填空题
5．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为__300__．
[解析] 将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)中，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，则y＝100log2(x＋1)，所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300．
6．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图像如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30
m2；
③野生水葫芦从4
m2蔓延到12
m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延至2
m2、3
m2、6
m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中，正确的是__①②④__.(填序号)．
[解析] ∵关系为指数函数，
∴可设y＝ax(a＞0且a≠1)．由图可知2＝a1．
∴a＝2，即底数为2，
∴说法①正确；
∵25＝32＞30，∴说法②正确；
∵指数函数增加速度越来越快，
∴说法③不正确；
t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，
∴t1＋t2＝t3.∴说法④正确；
∵指数函数增加速度越来越快，
∴说法⑤不正确．故正确的有①②④．
三、解答题
7．某乡镇目前人均一年占有粮食360
kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后人均一年占有y
kg粮食，求函数y关于x的解析式．
[解析] 设该乡镇目前人口量为M，则该乡镇目前一年的粮食总产量为360M．
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口总量为M(1＋1.2%)，
则人均占有粮食为；
经过2年后，人均占有粮食为；
……
经过x年后，人均占有粮食为
y＝＝360x＝360x．
即所求函数解析式为y＝360x．
8．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2
L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5
L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？
[解析] (1)用①来模拟比较合适，因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减，而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．
(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，得解得a＝－，b＝，所以函数解析式为y＝－x2＋x(x∈[0.5,8])．
∵y＝－x2＋x＝－2＋，∴当x＝时，年人均A饮料的销售量最多是
L．
