第五章 5.1 5.1.2
请同学们认真完成
[练案14]
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知数据－3，－2,0,6,6,13,20,35则它的中位数和众数各是( )
A．6和6
B．3和6
C．6和3
D．9.5和6
2．2019年1月份我国多地雾霾天气频发，部分地区平均雾霾天数统计如下：
省份
江苏
北京
浙江
安徽
山东
天数(天)
24
15
13
10
8
这五省1月份雾霾天数的平均数与中位数分别是( )
A．14,13
B．15,13
C．14,14
D．14,15
3．(多选题)下列说法中正确的是( )
A．数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B．数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C．数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D．数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定
4．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如表所示，则选送决赛的最佳人选应是( )
项目
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
s2
6.3
6.3
7
8.7
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
5．某射手在一次训练中12次射击的成绩分别为9.6,9.7，9.0，9.1,9.4,9.4,9.8,9.9,9.4,9.6,9.6,9.7，则该射手五次射击的成绩的75%分位数是( )
A．9.5
B．9.6
C．9.7
D．9.8
二、填空题
6．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为23，则x＝____．
7．若k1，k2，…，k6的方差为3，则2(k1－3)，2(k2－3)，…，2(k6－3)的方差为___．
8．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4．
则：(1)平均命中环数为____；
(2)命中环数的标准差为____．
三、解答题
9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如表：
每户丢弃旧塑料袋个数
2
3
4
5
户数
6
17
15
12
(1)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的平均数、中位数；
(2)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75%分位数．
10．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：
甲
127
138
130
137
135
131
乙
133
129
138
134
128
136
求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛．
B级 素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列说法正确的是( )
A．方差是标准差的平方
B．标准差的大小不会超过极差
C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0
D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
2．奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为( )
A．减少计算量
B．避免故障
C．剔除异常值
D．活跃赛场气氛
3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( )
A．
B．
C．
D．2
4．已知某7个数的平均数为3，方差为s2，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为，则( )
A．＝3，s2＝2
B．＝3，s2＝4
C．＝3，s2＝28
D．＝3，s2＝
二、填空题
5．某学习小组10名同学在一次数学测试中的得分分别为85,78,66,91,67,78,67,87,96,88，则这10名同学成绩的60%分位数为____．
6．某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表.
甲
8
11
14
15
22
乙
6
7
10
23
24
用s，s分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，则s＝____，s＝____，并由此可判断成绩更稳定的班级是____班．
三、解答题
7．一箱方便面共有50袋，用随机抽样方法从中抽取了10袋，并称其质量(单位：g)结果为：60.5,61,60,60,61.5,59.5,59.5,58,60,60．
(1)指出总体、个体、样本、样本容量；
(2)指出样本数据的众数、中位数、平均数；
(3)求样本数据的方差．
8．甲，乙两名射击运动员在相同条件下进行水平测试，各射击10次，命中的环数如下：
甲
8
6
7
8
6
5
9
10
4
7
乙
6
7
7
8
6
7
8
7
9
5
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)现要从甲、乙两人中选拔一人去参加比赛，根据上面的测试成绩，你认为应该派谁去合适？并且说明理由．
第五章 5.1 5.1.2
请同学们认真完成
[练案14]
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知数据－3，－2,0,6,6,13,20,35则它的中位数和众数各是( A )
A．6和6
B．3和6
C．6和3
D．9.5和6
[解析] ∵从小到大排列的这8个数，排在中间的两个数都是6，∴中位数是6；∵6出现的次数最多，∴众数是6，故选A．
2．2019年1月份我国多地雾霾天气频发，部分地区平均雾霾天数统计如下：
省份
江苏
北京
浙江
安徽
山东
天数(天)
24
15
13
10
8
这五省1月份雾霾天数的平均数与中位数分别是( A )
A．14,13
B．15,13
C．14,14
D．14,15
[解析] 将这组数据按从大到小的顺序排列，中间一个数为13，则这组数据的中位数是13；平均数＝(24＋15＋13＋10＋8)÷5＝14.故选A．
3．(多选题)下列说法中正确的是( ACD )
A．数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B．数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C．数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D．数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定
[解析] 由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故B不正确，ACD正确．
4．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如表所示，则选送决赛的最佳人选应是( B )
项目
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
s2
6.3
6.3
7
8.7
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
[解析] 因为乙＝丙＞甲＝丁，且s＝s＜s＜s，所以应选择乙进入决赛．
5．某射手在一次训练中12次射击的成绩分别为9.6,9.7，9.0，9.1,9.4,9.4,9.8,9.9,9.4,9.6,9.6,9.7，则该射手五次射击的成绩的75%分位数是( C )
A．9.5
B．9.6
C．9.7
D．9.8
[解析] 将12个数从小到大排列：9.0,9.1,9.4,9.4,9.4,9.6,9.6,9.6,9.7,9.7,9.8,9.9．
因为12×75%＝9，所以这组数据的75%分位数为＝＝9.7．
二、填空题
6．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为23，则x＝__23__．
[解析] 由题意知＝23，则x＝23．
7．若k1，k2，…，k6的方差为3，则2(k1－3)，2(k2－3)，…，2(k6－3)的方差为__12__．
[解析] 设k1，k2，…，k6的平均数为，
则[(k1－)2＋(k2－)2＋…＋(k6－)2]＝3．
而2(k1－3)，2(k2－3)，…，2(k6－3)的平均数为2(－3)．
则所求方差为[4(k1－)2＋4(k2－)2＋…＋4(k6－)2]＝4×3＝12．
8．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4．
则：(1)平均命中环数为__7__；
(2)命中环数的标准差为__2__．
[解析] (1)＝＝7．
(2)∵s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2．
三、解答题
9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如表：
每户丢弃旧塑料袋个数
2
3
4
5
户数
6
17
15
12
(1)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的平均数、中位数；
(2)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75%分位数．
[解析] (1)平均数＝×(2×6＋3×17＋4×15＋5×12)＝＝3.66.中位数是4．
(2)因为50×75%＝37.5，所以这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75%分位数是x38＝4．
10．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：
甲
127
138
130
137
135
131
乙
133
129
138
134
128
136
求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛．
[解析] 设甲、乙两人成绩的平均数分别为甲，乙，
则甲＝130＋(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，
乙＝130＋(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，
s＝[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝，
s＝[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝．
因此，甲与乙的成绩的平均数相同，由于乙的成绩的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．
B级 素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列说法正确的是( ABC )
A．方差是标准差的平方
B．标准差的大小不会超过极差
C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0
D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
[解析] 标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散．
2．奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为( C )
A．减少计算量
B．避免故障
C．剔除异常值
D．活跃赛场气氛
[解析] 因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平．
3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( D )
A．
B．
C．
D．2
[解析] ∵样本的平均数为1，∴(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1，∴样本方差s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2．
4．已知某7个数的平均数为3，方差为s2，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为，则( B )
A．＝3，s2＝2
B．＝3，s2＝4
C．＝3，s2＝28
D．＝3，s2＝
[解析] 由题意知＝＝3，
由方差公式得＝[7s2＋(3－3)2]，
所以s2＝×8×＝4．
二、填空题
5．某学习小组10名同学在一次数学测试中的得分分别为85,78,66,91,67,78,67,87,96,88，则这10名同学成绩的60%分位数为__86__．
[解析] 这组数据按照从小到大排列后为66,67,67,78,78,85,87,88,91,96，
10×60%＝6，所以这10名同学成绩的60%分位数为＝＝86．
6．某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表.
甲
8
11
14
15
22
乙
6
7
10
23
24
用s，s分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，则s＝__22__，s＝__62__，并由此可判断成绩更稳定的班级是__甲__班．
[解析] 根据表中数据，计算甲班的平均数为1＝×(8＋11＋14＋15＋22)＝14，
乙班的平均数为＝×(6＋7＋10＋23＋24)＝14；
甲班的方差为s＝×[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，
乙班的方差为s＝×[(6－14)2＋(7－14)2＋(10－14)2＋(23－14)2＋(24－14)2]＝62，所以s＜s，
由此可判断成绩更稳定的班级是甲班．
三、解答题
7．一箱方便面共有50袋，用随机抽样方法从中抽取了10袋，并称其质量(单位：g)结果为：60.5,61,60,60,61.5,59.5,59.5,58,60,60．
(1)指出总体、个体、样本、样本容量；
(2)指出样本数据的众数、中位数、平均数；
(3)求样本数据的方差．
[解析] (1)总体是这50袋方便面的质量，个体是这一箱方便面中每一袋方便面的质量，样本是抽取的10袋方便面的质量，样本容量为10．
(2)这组样本数据的众数是60，中位数为60，
平均数为＝×(60.5＋61＋60＋60＋61.5＋59.5＋59.5＋58＋60＋60)＝60．
(3)样本数据的方差为s2＝[(60.5－60)2＋(61－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(61.5－60)2＋(59.5－60)2＋(59.5－60)2＋(58－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2]＝0.8
8．甲，乙两名射击运动员在相同条件下进行水平测试，各射击10次，命中的环数如下：
甲
8
6
7
8
6
5
9
10
4
7
乙
6
7
7
8
6
7
8
7
9
5
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)现要从甲、乙两人中选拔一人去参加比赛，根据上面的测试成绩，你认为应该派谁去合适？并且说明理由．
[解析] (1)甲的平均数为甲＝
×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，
乙的平均数为乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7，
甲的方差为s＝[(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(4－7)2＋(7－7)2]＝×(1＋1＋1＋1＋4＋4＋9＋9)＝＝3，
乙的方差为s＝[(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2]
＝×(1＋1＋1＋1＋4＋4)＝＝1.2．
(2)由于甲＝乙，则两人平均数相同，由于s＞s，则甲数据不如乙数据稳定，故应选派乙参加比赛．第五章 5.1 5.1.2
1．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x等于( )
A．21
B．22
C．23
D．19
2．已知数据：2,4,4,6,6,6,8,8,8,8，则这10个数的标准差为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值约为( )
A．4.55
B．4.5
C．12.5
D．1.64
4．某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：
63 38 25 42 56 48 53 39 28 47
则上述数据的50%分位数为____．
5．一组数据中的每一个数据都乘2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，求原来数据的平均数和方差．
第五章 5.1 5.1.2
1．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x等于( A )
A．21
B．22
C．23
D．19
[解析] 一共8个数，所以中位数为中间两数的平均数，则＝22，x＝21，故选A．
2．已知数据：2,4,4,6,6,6,8,8,8,8，则这10个数的标准差为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 这10个数的平均数＝×(2＋4×2＋6×3＋8×4)＝6，方差s2＝×[(2－6)2＋(4－6)2×2＋(6－6)2×3＋(8－6)2×4]＝4，则标准差为2．
3．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值约为( A )
A．4.55
B．4.5
C．12.5
D．1.64
[解析] 由条件得＝(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55．
4．某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：
63 38 25 42 56 48 53 39 28 47
则上述数据的50%分位数为__44.5__．
[解析] 把这组数据从小到大排序：25,28,38,39,42,47,48,53,56,63，则10×50%＝5．
所以50%分位数为＝＝44.5．
5．一组数据中的每一个数据都乘2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，求原来数据的平均数和方差．
[解析] 设原数据的平均数为，方差为s2，则新数据的平均数为2－80，方差为4s2，由题意得2－80＝1.2，所以4s2＝4.4，所以＝40.6，s2＝1.1．
