课时分层作业2　集合的表示方法-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册检测（Word含答案解析）

课时分层作业(二)　集合的表示方法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．将集合A＝{x|1＜x≤3}用区间表示正确的是(　　)
A.(1，3)　　　　　　　 B．(1，3]
C.[1，3) D．[1，3]
2．集合A＝{x∈N︱x－1≤2 019}中的元素个数为(　　)
A.2 018 B．2 019
C.2 020 D．2 021
3．集合用描述法可表示为(　　)
A.
B.
C.
D.
4．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　)
A.x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C.x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
5．设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为(　　)
A.4　　　　B．5 C．19　　　　 D．20
二、填空题
6．集合用列举法可表示为________．
7．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．
三、解答题
8．下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
9．设P，Q为两个非空实数集，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
10．选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集．
(1)大于1且小于70的正整数构成的集合；
(2)方程x2－x＋2＝0的实数解构成的集合．
11．已知集合M＝，N＝＋，k∈Z ))，若x0∈M，则x0与N的关系是(　　)
A.x0∈N　　 B．x0N
C.x0∈N或x0N D．不能确定
12．(多选题)定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B的元素为(　　)
A.0 B．6
C.12 D．18
13．已知x，y为非零实数，则集合M＝{m＋＋}用列举法表示为________．
14．已知有限集A＝{a1，a2，…，an}(n≥2，n∈N)，如果A中的元素ai(i＝1，2，3，…，n)满足a1·a2·…·an＝a1＋a2＋…＋an，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合是“复活集”；
②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；
③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能是“复活集”．
其中正确的结论有________．(填写正确结论的序号)
15．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，ab∈A且(b≠0)∈A”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
课时分层作业(二)　集合的表示方法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．将集合A＝{x|1＜x≤3}用区间表示正确的是(　　)
A.(1，3)　　　　　　　 B．(1，3]
C.[1，3) D．[1，3]
B　[集合A为左开右闭区间，可表示为(1，3].]
2．集合A＝{x∈N︱x－1≤2 019}中的元素个数为(　　)
A.2 018 B．2 019
C.2 020 D．2 021
D　[因为集合A＝{x∈N︱x－1≤2 019}＝{x∈N︱x≤2 020}＝{0，1，2，…，2 020}，所以元素个数为2 021.]
3．集合用描述法可表示为(　　)
A.
B.
C.
D.
D　[由3，，，，即，，，从中发现规律，x＝，n∈N*，故可用描述法表示为．]
4．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　)
A.x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C.x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
D　[集合A表示奇数集，B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．]
5．设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为(　　)
A.4　　　　B．5 C．19　　　　 D．20
C　[由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合P*Q的元素为：(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)共5个元素．同样当a＝2，3时集合P*Q的元素个数都为5个，当a＝4时，集合P*Q中元素为：(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)共4个．因此P*Q中元素的个数为19个，故选C.]
二、填空题
6．集合用列举法可表示为________．
{1，2，4，8}　[因为集合，故x－1为8的正约数，即x－1的值可以为1，2，4，8，所以x可以为2，3，5，9，用列举法表示为{1，2，4，8}．]
7．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．
{－1，4}　[∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．]
三、解答题
8．下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
[解]　(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R.
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的实数对，可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图像．
9．设P，Q为两个非空实数集，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
[解]　当a＝0时，b依次取1，2，6，得a＋b的值分别为1，2，6；当a＝2时，b依次取1，2，6，得a＋b的值分别为3，4，8；当a＝5时，b依次取1，2，6，得 a＋b的值分别为6，7，11.由集合中元素的互异性知 P＋Q中元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个．
10．选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集．
(1)大于1且小于70的正整数构成的集合；
(2)方程x2－x＋2＝0的实数解构成的集合．
[解]　(1)设大于1且小于70的正整数构成的集合为A，则可用描述法表示为A＝{x|1＜x＜70，x∈N*}．A是有限集．
(2)设方程x2－x＋2＝0的实数解构成的集合为B，
因为Δ＝1－8＝－7＜0，
所以该方程无实数解，即集合B中不存在任何元素，
所以B＝，B是有限集．
11．已知集合M＝，N＝＋，k∈Z ))，若x0∈M，则x0与N的关系是(　　)
A.x0∈N　　 B．x0N
C.x0∈N或x0N D．不能确定
A　[M＝，N＝，
∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，
∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.]
12．(多选题)定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B的元素为(　　)
A.0 B．6
C.12 D．18
ABC　[当x＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝6；
当x＝1，y＝3时，z＝12，即A⊙B＝{0，6，12}．]
13．已知x，y为非零实数，则集合M＝{m＋＋}用列举法表示为________．
{－1，3}　[当x>0，y>0时，m＝3；
当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1；
若x，y异号，不妨设x>0，y<0，
则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1，3}．]
14．已知有限集A＝{a1，a2，…，an}(n≥2，n∈N)，如果A中的元素ai(i＝1，2，3，…，n)满足a1·a2·…·an＝a1＋a2＋…＋an，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合是“复活集”；
②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；
③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能是“复活集”．
其中正确的结论有________．(填写正确结论的序号)
①③　[∵×＝＋＝－1，∴①是正确的．
②不妨设a1＋a2＝a1a2＝t，则由根与系数的关系知a1，a2是一元二次方程x2－tx＋t＝0的两个不相等的实数根．由Δ＞0，可得t＜0或t＞4，故②错．
③根据集合互异性知a1≠a2，若a1，a2∈N*，不妨设a1＜a2，由a1a2＝a1＋a2＜2a2，
即有a1＜2.
∵a1∈N*，∴a1＝1.于是1＋a2＝1×a2，无解，即不存在满足条件的“复活集”，故③正确．]
15．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，ab∈A且(b≠0)∈A”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
[解]　数集N，Z不是“闭集”，数集Q，R是“闭集”．
例如，3∈N，2∈N，而＝1.5N；
3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5Z，
故N，Z不是闭集．
由于两个有理数a与b的和、差、积、商，
即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，故Q是闭集，同理R是闭集．