考前最后一轮基础知识巩固之第四章 第4课 向量综合应用

第4课　 向量综合应用
【考点导读】
能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不等式、三角函数、数列等知识的综合问题.
能从实际问题中提炼概括数学模型,了解向量知识的实际应用.
【基础练习】
1.已知a＝（5，4），b＝（3，2），则与2a－3b平行的单位向量为
2.已知＝1，＝1，a与b的夹角为60°，x＝2a－b,y＝3b－a，则x与y的夹角的余弦值为
3.已知平面上三点A、B、C满足＝3, ＝4, ＝5,则的值等于－25
4. 在△ABC中,角A，B，C的对边依次为a，b，c，且A，B，C依次成等差数列，若·＝－，且b＝,则a+c的值为
5.已知是两个互相垂直的单位向量, 且,,,则对任意的正实数,的最小值是
【范例导析】
例1.已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).
(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f（t）；
(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间。
分析:利用向量知识转化为函数问题求解.
解:（1）法一：由题意知x＝(,),
y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y
故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0。
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.
法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴k ＝f (t) ＝t2－,
令k ＜0得－1＜t＜1；令k ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
点拨:第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。
例2.已知两点M(－1，0)， N(1 , 0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列.
（1）点P 的轨迹是什么曲线？
（2）若点P坐标为（x0、y0），记θ为与的夹角，求tanθ.
分析；问题（1）是简单的求轨迹问题,可由题目条件直接求得,问题（2）涉及向量的夹角,可以联系向量的夹角公式解决.
解:（1）设点P（x , y），分别计算出·，·，·，
由题意，可得点P的轨迹方程是
故点P 的轨迹是以原点为圆心、为半径的右半圆。
(2) 由（1）知，，可得cosθ＝，
又x0,∴即,
于是sinθ＝＝＝＝，
点拨: 本题依托向量把解析几何、三角、数列等知识很自然地融于一体,既考查了向量的长度、角度、数量积，又考查了轨迹方程、等差数列及同角三角函数间关系等重点知识，可谓一举多得。
例3. 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线PQ的方程；
（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明
分析：本题需将向量的运算和解析几何的基本思想方法综合起来解题
解： （1）由题意，可设椭圆的方程为
由已知得
解得
所以椭圆的方程为，离心率
（2）解：由（1）可得A（3，0）
设直线PQ的方程为由方程组
得
依题意，得
设，则
， ①
②
由直线PQ的方程得于是
③
∵，∴ ④
由①②③④得，从而
所以直线PQ的方程为或
（3）证明：由已知得方程组
注意，解得
因，故
而，所以
点拨: 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力
例4.已知两个力（单位：牛）与的夹角为，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动到点（单位：米）
求；
求与的合力对质点所做的功
分析:理解向量及向量数量积的物理意义,将物理中的求力和功的问题转化为向量问题解决.
点拨:学习向量要了解向量的实际背景,并能用向量的知识解决方一些简单的实际问题.
反馈练习：
1.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C满足，其中，∈R且+=1，则点C的轨迹方程为x＋2y－5=0
2.已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是
3. 已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|+|=|-|,其中O为原点,则实数a的值为2或-2
4.已知向量a=()，向量b=()，则|2a－b|的最大值是 4
5.已知点A(,1)、B(0,0)、C(,0),设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,若=λ,则λ等于
6.已知直线与轴分别相交于点、,( 、分别是与轴正半轴同方向的单位向量), 则直线的方程是
7.已知，其中，则的最小值是
8.是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ()，，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心（填外心、内心、重心、垂心）
9.已知向量a=(2cosα,2cosβ),b=(3cosβ,3sinβ),若a与b的夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是相离
10．如图， ，
（1）若∥，求x与y间的关系；
（2）在（1）的条件下，若有，求x,y的值及四边形ABCD的面积.
解（1）又∥
①
（2）由⊥，得（x－2）(6＋x)＋(y－3)·(y＋1)＝0,②
即x2＋y2＋4x－2y－15＝0 由①，②得或
11.设的模为1，且互相垂直，若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
解：∵，故，
解之 ．
另有，解之，
∴．
12.某人骑车以aｋｍ／ｈ的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来；而当速度为2akm／h时，感到风是从东北方向吹来，试求实际的风速和风向.
解：设此人行驶的速度为a，则｜a｜＝a，且在无风时，此人感到的风速为－a，又设实际风速为v，
由题意知，此人所感到的从正北方向吹来的风速向量为v－a.?
如图所示：?
令＝－a，＝－2 a
由于＋＝，故PA＝v－a
又＋＝，故PB＝v－2 a，
即为此人的速度是原来的2倍时所感到的风速，?
由题意得，∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而△ABC为等腰三角形，
∴PB＝PO，∠POA＝∠APO＝45°?
∴PO＝ a，｜ｖ｜＝ a (km／h)?
答：实际吹来的风是风速为 a km／h的西北风.
第10题
第12题