第一章 4.2 4.4.2.3 第2课时
1．函数y＝log|x|的大致图像是( )
2．已知函数f(x)＝1＋log3x，x∈[9,81]，则f(x)的最大值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝___．
4．函数f(x)＝lg的值域为____．
5．已知函数f(x)＝lg
(4－x2)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明．
第一章 4.2 4.4.2.3 第2课时
1．函数y＝log|x|的大致图像是( D )
[解析] 当x＝1时，y＝log1＝0，排除A；
当x＝2时，y＝log2＝－1，排除B、C、，故选D．
2．已知函数f(x)＝1＋log3x，x∈[9,81]，则f(x)的最大值为( C )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] ∵函数f(x)＝1＋log3x在[9,81]上单调递增，∴当x＝81时，f(x)取最大值1＋log381＝1＋log334＝5，故选C．
3．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝__1__．
[解析] ∵f(x)＝xln(x＋)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即－xln(－x＋)
＝xln(x＋)，
∴ln(－x＋)＋ln(x＋)＝0，
即x2＋a－x2＝1，∴a＝1．
此时，函数f(x)的定义域为R，符合题意．
4．函数f(x)＝lg的值域为__(－∞，lg_2]__．
[解析] ∵－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴－x2＋4x∈(0,4]，∴∈(0,2]，
∴函数f(x)的值域为(－∞，lg
2]．
5．已知函数f(x)＝lg
(4－x2)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明．
[解析] (1)要使函数f(x)有意义，应满足4－x2＞0，
∴x2＜4，∴－2＜x＜2，
∴函数f(x)的定义域为(－2,2)．
(2)函数f(x)是偶函数．
由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)＝lg
(4－x2)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．第一章 4.2 4.4.2.3 第2课时
请同学们认真完成
[练案7]
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝，则f(－a)等于( )
A．
B．－
C．2
D．－2
2．函数y＝ln(1－x)的图像大致为( )
3．(多选题)已知f(x)＝lg
(10＋x)＋lg
(10－x)，则( )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是偶函数
C．f(x)在(0,10)上单调递增
D．f(x)在(0,10)上单调递减
4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg
x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x
B．y＝lg
x
C．y＝2x
D．y＝
5．设函数f(x)＝，则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2]
B．[0,2]
C．[1，＋∞)
D．[0，＋∞)
二、填空题
6．函数f(x)＝loga(x＋1)－2(a＞0，a≠1)的图像过定点__．
7．函数f(x)＝lg
x2的单调递减区间是____．
8．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式f(log4x)＜0的解集是____．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a＞0且a≠1)．
(1)若f(6)＝2，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)在[1,2]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值．
10．已知函数f(x)＝lg
(ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的范围．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知a＞0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像可能是下图中的( )
2．函数y＝lg(x2－4x＋a)的值域不可能是( )
A．(－∞，1]
B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
3．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)
4．已知f(x)＝在R上是增函数，那么实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(－∞，3)
C．
D．(1,3)
二、填空题
5．函数f(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(logxx≥1,2xx＜1))的值域为____．
6．已知f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f(lg
x)＞f(1)，则x的取值范围是
___．
7．函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是__．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a＞0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围．
9．已知函数f(x)＝log[(a－1)x－2]．
(1)若a＞1，求f(x)的定义域；
(2)若f(x)＞0在[1，]上恒成立，求实数a的取值范围．
第一章 4.2 4.4.2.3 第2课时
请同学们认真完成
[练案7]
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝，则f(－a)等于( B )
A．
B．－
C．2
D．－2
[解析] f(a)＝lg＝，f(－a)＝lg
()－1
＝－lg＝－．
2．函数y＝ln(1－x)的图像大致为( C )
[解析] 要使函数y＝ln(1－x)有意义，应满足1－x＞0，
∴x＜1，排除A、B；
又当x＜0时，－x＞0,1－x＞1，
∴y＝ln(1－x)＞0，排除D，故选C．
3．(多选题)已知f(x)＝lg
(10＋x)＋lg
(10－x)，则( BD )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是偶函数
C．f(x)在(0,10)上单调递增
D．f(x)在(0,10)上单调递减
[解析] 由得x∈(－10,10)，
故函数f(x)的定义域为(－10,10)，关于原点对称，
又由f(－x)＝lg
(10－x)＋lg
(10＋x)＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数，
而f(x)＝lg
(10＋x)＋lg
(10－x)＝lg
(100－x2)，
y＝100－x2在(0,10)上递减，y＝lg
x在(0,10)上递增，故函数f(x)在(0,10)上递减．
4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg
x的定义域和值域相同的是( D )
A．y＝x
B．y＝lg
x
C．y＝2x
D．y＝
[解析] 函数y＝10lg
x的定义域为(0，＋∞)，
又∵y＝10lg
x＝x，∴函数的值域为(0，＋∞)，故选D．
5．设函数f(x)＝，则满足f(x)≤2的x的取值范围是( D )
A．[－1,2]
B．[0,2]
C．[1，＋∞)
D．[0，＋∞)
[解析] 当x≤1时，21－x≤2，∴1－x≤1，
∴x≥0，∴0≤x≤1.当x＞1时，1－log2x≤2，∴log2x≥－1，
∴x≥，又∵x＞1，∴x＞1．
综上可知，x的取值范围为[0，＋∞)．
二、填空题
6．函数f(x)＝loga(x＋1)－2(a＞0，a≠1)的图像过定点__(0，－2)__．
[解析] 当x＋1＝1，即x＝0时，
loga(x＋1)＝0，f(x)＝－2，
∴f(x)的图像过定点(0，－2)．
7．函数f(x)＝lg
x2的单调递减区间是__(－∞，0)__．
[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，令u＝x2，则函数u＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，又∵y＝lg
u是增函数，∴函数f(x)＝lg
x2的单调递减区间为(－∞，0)．
8．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式f(log4x)＜0的解集是__{x|＜x＜2}__．
[解析] ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，
又∵f＝0，∴f＝0，
由f(log4x)＜0，得－＜log4x＜，
∴＜x＜2，故所求不等式的解集为．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a＞0且a≠1)．
(1)若f(6)＝2，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)在[1,2]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值．
[解析] (1)因为f(6)＝2．
所以loga8－1＝2，
所以loga8＝3，即a3＝8，所以a＝2．
所以f(x)＝log2(x＋2)－1
令f(x)＝0，
即log2(x＋2)－1＝0，
所以log2(x＋2)＝1，
所以x＋2＝2，
所以x＝0．
即f(x)的零点为0．
(2)因为无论a＞1或0＜a＜1，f(x)均为单调函数
所以最值均在区间端点取得
因为f(x)在x∈[1,2]上的最大值与最小值互为相反数，所以f(1)＋f(2)＝0，即loga3－1＋loga4－1＝0，所以loga3＋loga4＝2，所以loga12＝2，
所以a2＝12，所以a＝±2，又因为a＞0且a≠1，所以a＝2．
10．已知函数f(x)＝lg
(ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的范围．
[解析] (1)若f(x)的定义域为R，则关于x的不等式ax2＋2x＋1＞0的解集为R．
当a＝0时，x＞－，这与x∈R矛盾，∴a≠0，
当a≠0时，由题意得，解得a＞1.即a的范围为{a|a＞1}．
(2)若f(x)的值域为R，则ax2＋2x＋1能取遍一切正数，
∴a＝0或，解得0≤a≤1．
即a的范围为{a|0≤a≤1}．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知a＞0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像可能是下图中的( B )
[解析] ∵函数y＝loga(－x)中，－x＞0，
∴x＜0，故其图像应在y轴左侧，排除A、D；
又函数y＝ax与y＝loga(－x)的单调性相反，排除C，
故选B．
2．函数y＝lg(x2－4x＋a)的值域不可能是( A )
A．(－∞，1]
B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
[解析] 设u＝x2－4x＋a＝(x－2)2＋a－4，所以u≥a－4，根据对数函数的图像与性质可知，函数y＝lg(x2－4x＋a)的值域不可能为(－∞，1]，故选A．
3．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是( D )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)
[解析] 函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D．
4．已知f(x)＝在R上是增函数，那么实数a的取值范围是( C )
A．(1，＋∞)
B．(－∞，3)
C．
D．(1,3)
[解析] 因为f(x)在R上是增函数，
∴，即，
解得≤a＜3．
二、填空题
5．函数f(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(logxx≥1,2xx＜1))的值域为__(－∞，2)__．
[解析] 当x≥1时，logx≤log1＝0，
当x＜1时，0＜2x＜2，∴函数f(x)的值域为(－∞，2)．
6．已知f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f(lg
x)＞f(1)，则x的取值范围是
____．
[解析] 当x≥1时，lg
x≥0，因为函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，所以由f(lg
x)＞f(1)，得0≤lg
x＜1，得1≤x＜10；当0＜x＜1时，lg
x＜0，因为函数f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上是减函数，由f(lgx)＞f(1)，得f(－lg
x)＞f(1)，所以0＜－lg
x＜1，得＜x＜1.综上，可知＜x＜10．
7．函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是__a＞3__．
[解析] 因为函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，而函数t＝ax－3在[1,3]上单调递增，
根据复合函数的单调性可得a＞1，且a－3＞0，解得a＞3．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a＞0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围．
[解析] (1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2．
(2)f(x)－g(x)＞0，即loga(1＋x)＞loga(1－x)，
①当a＞1时，1＋x＞1－x＞0，得0＜x＜1．
②当0＜a＜1时，0＜1＋x＜1－x，得－1＜x＜0．
9．已知函数f(x)＝log[(a－1)x－2]．
(1)若a＞1，求f(x)的定义域；
(2)若f(x)＞0在[1，]上恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] (1)若a＞1，则a－1＞0，解(a－1)x－2＞0得x＞.∴f(x)的定义域是(，＋∞)．
(2)①若a＞1，则0＜＜1，
即在[1，]上恒有0＜(a－1)x－2＜1．
∵a－1＞0，∴y＝(a－1)x－2为增函数，
只要∴3＜a＜．
②若0＜a＜1，则＞1，
即在[1，]上恒有(a－1)x－2＞1，
∵a－1＜0，∴y＝(a－1)x－2为减函数，
只要(a－1)×－2＞1，∴a＞．
∵0＜a＜1，∴a∈?．
综上，a的取值范围为(3，)．
