考前最后一轮基础知识巩固之第四章 第5课 复数的概念和运算

第5课　复数的概念和运算
【考点导读】
1.了解数系的扩充的基本思想,了解引入复数的必要性.
2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数表示和几何意义.
【基础练习】
1.设、、、，若为实数，则
2.复数的共轭复数是
3.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于第二象限
4.复数
5.若复数满足方程，则
【范例导析】
例1.m取何实数时，复数（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？
分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数．由于所给复数z已写成标准形式，即，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题．
解：（1）当即
∴时，z是实数．
（2）当即
∴当且时，z是虚数．
（3）当即
∴当或时，z是纯虚数．
点拨：研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点．如本题易忽略分母不能为0的条件，丢掉，导致解答出错．
例2.在复数范围内解方程(i为虚数单位)
分析:可z=x+yi(x、y∈R),代入求解.
解:原方程化简为,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=－1,解得x=－且y=±,
∴原方程的解是z=-±i.
点拨：复数问题实数化是解决复数问题的基本方法,在解题中应引起重视.
例3.设复数z满足4z+2=3+i，ω=sinθ－icosθ（θ∈R）.求z的值和|z－ω|的取值范围.
分析:根据共轭复数的概念和复数的代数运算求出复数z,再代入写出|z－ω|的表达式求其范围.
.解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a－bi，代入4z+2=3+i
得4（a+bi）+2（a－bi）=3+i.
∴.∴z=i.
|z－ω|=|i－（sinθ－icosθ）|
=
∵－1≤sin（θ－）≤1，∴0≤2－2sin（θ－）≤4.
∴0≤|z－ω|≤2.
点拨：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.
例4.设z是虚数，w=z+是实数，且－1＜ω＜2.
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设u=，求证：u为纯虚数；
（3）求w－u2的最小值.
分析:本题题（3）利用基本不等式求最值较方便.
解：（1）设z=a+bi，a、b∈R，b≠0
则w=a+bi+
因为w是实数，b≠0，所以a2＋b2=1，
即|z|=1.
于是w=2a，－1＜w=2a＜2，－＜a＜1，
所以z的实部的取值范围是（－，1）.
（2）.
因为a∈（－，1），b≠0，所以u为纯虚数.
（3）
.
因为a∈（－，1），所以a+1＞0，
故w－u2≥2·2－3=4－3=1.
当a+1=，即a=0时，w－u2取得最小值1.
点拨: 本题综合性较强,在解题过程中综合运用了复数的相关概念和运算使问题得以解决.
反馈练习：
1.如果复数是实数，则实数
2.已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝
3.若复数Z=，则Z+Z+1+i的值为0
4.已知,则等于
5.复数，且，若是实数，则有序实数对可以是__（2,1）_（写出一个有序实数对即可）
6.是虚数单位，（用的形式表示，）
7.设、为实数，且，则+=4.
8.如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，那么|z+i+1|的最小值是1
9.若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ -1+i ．
10.已知，求的值.
解：∵，
，∴
11.已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b＝（a＋2z）2．
解：∵z＝1＋i，
∴az＋2b＝（a＋2b）＋（a－2b）i，
（a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i，
因为a，b都是实数，所以由az＋2b＝（a＋2z）2得
两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，
解得a1＝－2，a2＝－4，
对应得b1＝－1，b2＝2．
所以，所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2．
12.已知z、w为复数，（1＋3i）z为纯虚数，w＝，且|w|＝5，求w．
解法一：设z＝a＋bi（a，b∈R），则（1＋3i）z＝a－3b＋（3a＋b）i．
由题意，得a＝3b≠0．
∵|ω|＝，
∴|z|＝．
将a＝3b代入，解得a＝±15，b＝±15．
故ω＝±＝±（7－i）．
解法二：由题意，设（1＋3i）z＝ki，k≠0且k∈R，
则ω＝．
∵|ω|＝5，∴k＝±50．
故ω＝±（7－i）．