本章自主测试
一．填空题（本大题共14小题，每小题6分，共84分．）
1.已知集合，，则.
2.命题“对，”的否定是.
3.已知全集，，则为.
4.设是两个集合，则“”是“”的 必要不充分__ 条件．
5.命题“若，则”的逆否命题是 _________________________ .
6.如果U={x|x是小于9的正整数}，A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，那么CUA∩CUB= {7,8} .
7.已知集合，，且，则实数a的取值范围是.
8.设全集U=R，，则图中阴影部分所表示的集合是 .
9.已知集合，，且，则的取值是.
10. 学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，这个班共有__19__名同学没有参加过比赛．
11. 设集合，是全集的两个子集，则是的__充分不必要___条件．
12. 定义集合运算：，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为_____18____．
13. 设集合，在S上定义运算为：，其中k为被4除的余数，．满足关系式的x(x∈S)的个数为____2___个．
解析：由定义A1 A1= A2，A2 A2= A0，x =A1能满足关系式，同理x=A3满足关系式．
14. 设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素与之对应）．若对任意的a，b∈S，有，则对任意的a，b∈S，下列结论中：
①； ② ； ③； ④．
其中不恒成立的结论的序号是____①___．
二．解答题（本大题共5小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. （本小题满分14分）已知命题：若，则关于x的方程有实根．写出其逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假．
解：逆命题：若关于x的方程有实根，则，假命题；
否命题：若，则关于x的方程无实根，假命题；
逆否命题：若关于x的方程无实根，则，真命题．
16. （本小题满分14分）已知集合，，．
（1）求， ；
（2）若，求实数a的取值范围．
简解：（1） ，．
（2）．
17. （本小题满分16分）设集合，，若，求实数a的取值范围．
解：当时，，不成立；当时，，满足条件；
当且时，即，①若，得，此时，满足条件；
②若，得，此时，不成立；
③若，得，此时，满足条件．
综上，或．
18. （本小题满分16分）设集合，，．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得．
解：（1）由题意知：
①当时，，，舍；
②当时，，，，得；
③当时，，，，得．
综上，实数a的取值范围是．
19. （本小题满分16分）已知实数，命题：，有解；命题q：，．
（1）写出q；
（2）若p且q为真， 求实数的取值范围．
解：（1）q: ，
（2）p且q为真，则p, q同时为真，由于实数，则 p：；
q：时，，则由得：
，令，则，
函数在区间上为减函数，
则当时，，
要使在上恒成立，则；
综上可知，．
若或，则
第8题第2课 命题及逻辑联结词
【考点导读】
了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．
了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．
理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
【基础练习】
1.下列语句中：①；②你是高三的学生吗？③；④．
其中，不是命题的有____①②④_____．
2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p ，否命题可表示为 ，逆否命题可表示为；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．
3.有下列命题：①对角线不垂直的平行四边形不是菱形；②“若，则”的逆命题；③“若，则”的否命题；④“若方程有两个不相等的实根，则”的逆否命题．其中真命题的序号有____①③____．
4.有下列命题：①；②；③；④的约数．其中真命题的序号有___①③④___．
5.对原命题及其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题而言，假命题的个数是____0或2或4___．
6.命题“若，则a，b至少有一个为零”的逆否命题是 ．
【范例解析】
写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.
平行四边形的对边相等；
菱形的对角线互相垂直平分；
设，若，则.
分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.
解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；
逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；
否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；
逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.
（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；
逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；
否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；
逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.
（3）原命题：设，若，则；真命题；
逆命题：设，若，则；假命题；
否命题：设，若或，则；假命题；
逆否命题：设，若，则或；真命题.
点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.
例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.
（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；
（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
（3）p：方程的两实根的符号相同，q：方程的两实根的绝对值相等.
分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.
解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；
非p：2不是4的约数，假命题.
（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
非p：矩形的对角线不相等，假命题.
（3）p或q：方程的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；
p且q：方程的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；
非p：方程的两实根的符号不同，真命题.
点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.
例3.写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
（2）p：每一个非负数的平方都是正数；
（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；
（4）p：有的四边形没有外接圆；
（5）p：某些梯形的对角线互相平分.
分析：全称命题“”的否定是“”，特称命题“”的否定是“” .
解：（1）：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；
（2）：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；
（3）：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；
（4）：所有四边形都有外接圆，假命题；
（5）：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.
点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语 等于 大于 小于 是 都是
否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 …
否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 …
例4.已知且，设函数在R上为减函数，不等式的解集为R.若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围.
分析：由，为真求出的取值范围，结合“或”为真命题，“且”为假命题得出，一真一假，从而得出的取值范围.
解：当为真时，
函数在R上为减函数，
或得
当为真时，
不等式的解集为R，即时，恒成立.
，得.
“或”为真命题，“且”为假命题，
当为真为假时，解得.
当为假为真时，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
点评：由条件分析得到，一真一假，学生多会先写命题的假命题，再求的取值范围，这样会增加计算量，而且容易出错.
【反馈演练】
1．命题“若，则”的逆否命题是__________________.
2．已知命题：，则.
3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____.
4．已知下列四个命题：
①“若，则互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若，则方程有实根”的逆否命题；
④“若，则”的逆否命题．
其中真命题的是____①②③____.
5．已知全集，，若命题，则：.
6．命题“若，则”的否命题为________________________．
8．命题方程有两个不相等的实根，命题方程无实根，若为真，为假，则实数m的取值范围______ ___．
10．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
（1）设，若，则或；
（2）设，若，则．
解：（1）逆命题：设，若或，则；真命题；
否命题：设，若，则且；真命题；
逆否命题：设，若且，则；真命题；
（2）逆命题：设，若，则；假命题；
否命题：设，若或，则；假命题；
逆否命题：设，若，则或；真命题．
11．设命题：函数是R上的减函数，命题q：在上的值域为，若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数a的取值范围．
解：由得，
又，在上的值域为，得．
又“或”为真命题，“且”为假命题，
当为真为假时，解得.
当为假为真时，解得.
综上所述，a的取值范围为.
12．已知命题：，都有，命题：，.若为假命题且为真命题，求实数m的取值范围.
解：当 为真命题时，则，故为假命题时，得.
当为真命题时，即，则或.
综上，可知.
若且，则
若，则
若，则第1课时集合的概念及运算
【考点导读】
了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．
理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．
【基础练习】
1.集合用列举法表示．
2.设集合，，则．
3.已知集合，，则集合____________．
4.设全集，集合，，则实数a的值为____8或2___．
5. 已知集合,，若，则实数a的取值范围____________．
6. 已知集合,，则图中
阴影部分所表示的集合是 ____ .
【范例解析】
例1. 设，集合，求的值.
分析：利用集合中元素互异性和集合相等性质，得到集合中对应元素的关系.
解：由题知，， ，则，所以 ，解得，所以.
点评：本题以集合中元素的性质为载体，考察学生对条件的把握分析能力，以寻找解题的突破口.
例2.已知集合，.
若，求实数a的取值范围；
集合，能否相等？若能，求出a的值；若不能，请说明理由.
分析：（1）对a进行分类讨论，利用数轴求a的取值范围.
解：，.
①当时，，所以不可能；
②当时，，若，则解得.
③当时，，若，则解得.
综上所得，a的取值范围为.
(2)分析一：求出满足时a的取值范围，再与（1）取交集.
解法一：①当时，，所以成立；
②当时，，若，则解得.
③当时，，若，则解得.
综上，时，.
且，若，则且，矛盾.
所以，集合与不可能相等.
分析二：利用两个相等集合中元素的对应关系，建立等量关系.
解法二：①当时，，所以；
②当时，，若，则无解.
③当时，，若，显然不成立.
综上，集合与不可能相等.
点评：在解决两个数集关系问题时，应合理运用数轴帮助分析与求解.另外，在解含参数的不等式（方程）时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循不重不漏的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答.
例3.（1）已知为实数集，集合.若，
或，求集合B；
（2）已知集合，，且，记，写出集合的所有子集.
分析：（1）先化简集合A，由可以得出与的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.
（2）求出N，由，可知，解得a，进而求出.
解：（1），或.又，，可得.
而或，或
借助数轴可得或.
（2）由，得；又，故.
由且，可得.，
故的子集为：，，，，，，，.
点评：（1）研究数集的相互关系时，可通过数轴示意，借助直观性探求，易于理解.（2）含有n个元素的集合，共有个子集，个真子集.另注意空集的情况.
例4.已知函数，集合，集合.
（1）求证：；
（2）若，求集合.
分析：（1）要证明，根据定义，只要证A中任一元素都是B中的元素即可；
（2）由，可以求出p，q的值，从而求出.
解：（1）设是集合A中的任一元素，即.， ，
即有..故.
（2），，3是方程的两个根，
因为集合B中的元素是方程的根，也就是的根.
方程整理得，解得，即.
点评：本题考查集合语言与集合思想在解决方程问题时的运用，在解答过程中，应脱去集合符号和抽象函数符号的“外衣”，显出本质的数量关系，要不断实施各种数学语言间的相互转换.
【反馈演练】
1．设集合，，，则=_________．
2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，则P+Q中元素的个数是____8___个．
3．已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝ 1 ．
4．若集合M＝{0，l，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y ∈M}，则N中元素的个数为
______4____个．
5．设f(n)＝2n＋1(n∈N)，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，记＝{n∈N|f(n)∈P}，＝{n∈N|f(n)∈Q}，则(∩)∪(∩)＝___________.
6．若集合，则A∩B等于．
7．已知集合，，若，则实数的取值范围是 .
8．已知A，B，C为三个集合，若，给出下列结论：
①；②；③；④．
其中正确结论的有_______①______．
提示：由知，．
9．已知集合，，，若集合A，B，C满足，，求b，c的值.
解：由题知：，..
，，.或.
又，的两根为和3，
即有解得，．
10．设集合，.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围；
（3）若，求实数a的值.
解：（1）由题意知：，，.
①当时，得，解得．
②当时，得，解得．
综上，．
（2）①当时，得，解得；
②当时，得，解得．
综上，．
（3）由，则．
11．设集合，．
（1）若，求a的值；
（2）若，求a的值．
解：由题知：．
（1），．
①当时，，解得；
②当或时，，解得，此时，，满足；
③当时，
综上所述，实数a的取值范围是或．
（2），，故．即，解得．
第6题第3 课时 充分条件和必要条件
【考点导读】
理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．
从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：
若集合，则是的充分条件；
若集合，则是的必要条件；
若集合，则是的充要条件．
3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．
【基础练习】
1.若，则是的充分条件．若，则是的必要条件．若，则是的充要条件．
2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）已知，，那么是的_____充分不必要___条件．
（2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的____充要_____条件．
（3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的_____必要不充分___条件．
（4）已知，，那么是的____必要不充分___条件．
3.函数过原点的充要条件是．
4.对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“”是“”充要条件；②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的序号是____②_④___．
5.若，则的一个必要不充分条件是．
【范例解析】
例1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）是的___________________条件；
（2）是的___________________条件；
（3）是的___________________条件；
（4）是或的___________________条件.
分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.
解：（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要条件.
（2）因为的解集为，的解集为，故是的必要不充分条件.
（3）当时，均不存在；当时，取，，但，所以是的既不充分也不必要条件.
（4）原问题等价其逆否形式，即判断“且是的____条件”，故是或的充分不必要条件.
点评：①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.
例2.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则p是s的_________条件.
分析：将各个命题间的关系用符号连接，易解答.
解：
故p是s的的充要条件.
点评：将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用.
例3.已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
分析：若是的必要不充分条件等价其逆否形式，即是的必要不充分条件.
解：由题知：，
是的必要不充分条件，是的必要不充分条件.
，即得.
故m的取值范围为.
点评：对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：若集合，则是的充分条件；若集合，则是的必要条件；若集合，则是的充要条件．
例4.求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是．
分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性．
证明：必要性：若是方程的根，求证：．
是方程的根，，即．
充分性：关于x的方程的系数满足，求证：方程有一根为－1．
，，代入方程得：，
得，是方程的一个根．
故原命题成立．
点评：在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：充分性和必要性，缺一不可．
【反馈演练】
1．设集合，，则“”是“”的_必要不充分
条件．
2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的 条件．
3．设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的______充分不必要______条件．
4．已知，，则是的_____必要不充分_______条件．
5．集合A＝{x|＜0}，B＝｛x || x －b|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分条件，则b的取值范围是．
6．设集合，，则“”是“”的______________条件．
7．设全集，子集，，那么点的充要条件为．
8．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件； ④的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，
其中正确命题序号是______①②④____．
9．有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是card= card+ card；
②的必要条件是cardcard；
③的充分条件是cardcard；
④的充要条件是cardcard.
其中真命题的序号是_①②__．
10．已知函数，求证：函数是偶函数的充要条件为．
证：充分性：定义域关于原点对称．
，，，
所以，所以为偶函数．
必要性：因为是偶函数，则对任意x有，
得，即，所以．
综上所述，原命题得证．
11．已知条件，条件．若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：，若是的充分不必要条件，则．
若，则，即；
若，则解得．
综上所述，．
12．已知关于x的方程，．
求：（1）方程有两个正根的充要条件；
（2）方程至少有一个正根的充要条件．
解：（1）方程有两个正根的充要条件
设此时方程的两实根为，，则
，的正数的充要条件是．
综上，方程有两个正根的充要条件为或．
（2）①方程有两个正根，由（1）知或．
②当时，方程化为，有一个正根．
③方程无零根，故方程有一正根，一负根的充要条件是即．
综上，方程至少有一正根的充要条件是或．
s
充分不必要
必要不充分
