考前最后一轮基础知识巩固之第一章 第2课时 命题及逻辑联结词

第2课 命题及逻辑联结词
【考点导读】
了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．
了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．
理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
【基础练习】
1.下列语句中：①；②你是高三的学生吗？③；④．
其中，不是命题的有____①②④_____．
2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p ，否命题可表示为 ，逆否命题可表示为；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．
3.有下列命题：①对角线不垂直的平行四边形不是菱形；②“若，则”的逆命题；③“若，则”的否命题；④“若方程有两个不相等的实根，则”的逆否命题．其中真命题的序号有____①③____．
4.有下列命题：①；②；③；④的约数．其中真命题的序号有___①③④___．
5.对原命题及其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题而言，假命题的个数是____0或2或4___．
6.命题“若，则a，b至少有一个为零”的逆否命题是 ．
【范例解析】
写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.
平行四边形的对边相等；
菱形的对角线互相垂直平分；
设，若，则.
分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.
解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；
逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；
否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；
逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.
（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；
逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；
否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；
逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.
（3）原命题：设，若，则；真命题；
逆命题：设，若，则；假命题；
否命题：设，若或，则；假命题；
逆否命题：设，若，则或；真命题.
点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.
例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.
（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；
（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
（3）p：方程的两实根的符号相同，q：方程的两实根的绝对值相等.
分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.
解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；
非p：2不是4的约数，假命题.
（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
非p：矩形的对角线不相等，假命题.
（3）p或q：方程的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；
p且q：方程的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；
非p：方程的两实根的符号不同，真命题.
点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.
例3.写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
（2）p：每一个非负数的平方都是正数；
（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；
（4）p：有的四边形没有外接圆；
（5）p：某些梯形的对角线互相平分.
分析：全称命题“”的否定是“”，特称命题“”的否定是“” .
解：（1）：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；
（2）：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；
（3）：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；
（4）：所有四边形都有外接圆，假命题；
（5）：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.
点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语 等于 大于 小于 是 都是
否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 …
否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 …
例4.已知且，设函数在R上为减函数，不等式的解集为R.若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围.
分析：由，为真求出的取值范围，结合“或”为真命题，“且”为假命题得出，一真一假，从而得出的取值范围.
解：当为真时，
函数在R上为减函数，
或得
当为真时，
不等式的解集为R，即时，恒成立.
，得.
“或”为真命题，“且”为假命题，
当为真为假时，解得.
当为假为真时，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
点评：由条件分析得到，一真一假，学生多会先写命题的假命题，再求的取值范围，这样会增加计算量，而且容易出错.
【反馈演练】
1．命题“若，则”的逆否命题是__________________.
2．已知命题：，则.
3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____.
4．已知下列四个命题：
①“若，则互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若，则方程有实根”的逆否命题；
④“若，则”的逆否命题．
其中真命题的是____①②③____.
5．已知全集，，若命题，则：.
6．命题“若，则”的否命题为________________________．
8．命题方程有两个不相等的实根，命题方程无实根，若为真，为假，则实数m的取值范围______ ___．
10．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
（1）设，若，则或；
（2）设，若，则．
解：（1）逆命题：设，若或，则；真命题；
否命题：设，若，则且；真命题；
逆否命题：设，若且，则；真命题；
（2）逆命题：设，若，则；假命题；
否命题：设，若或，则；假命题；
逆否命题：设，若，则或；真命题．
11．设命题：函数是R上的减函数，命题q：在上的值域为，若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数a的取值范围．
解：由得，
又，在上的值域为，得．
又“或”为真命题，“且”为假命题，
当为真为假时，解得.
当为假为真时，解得.
综上所述，a的取值范围为.
12．已知命题：，都有，命题：，.若为假命题且为真命题，求实数m的取值范围.
解：当 为真命题时，则，故为假命题时，得.
当为真命题时，即，则或.
综上，可知.
若且，则
若，则
若，则