考前最后一轮基础知识巩固之第八章 第1课 直线的方程

第1课　直线的方程
【考点导读】
理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程．
高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.
【基础练习】
直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角范围是
过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是
3.直线l经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为
4.无论取任何实数，直线必经过一定点P，则P的坐标为（2，2）
5.已知直线l过点P（-5,-4）,且与两坐标轴围成的三角形面积为5个平方单位，求直线l的方程
【范例导析】
例1.已知两点A（－1，2）、B（m，3）
（1）求直线AB的斜率k；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况.
解:（1）当m=－1时，直线AB的斜率不存在．
当m≠－1时，，
（2）当m=－1时，AB：x=－1，
当m≠1时，AB：.
（3）①当m=－1时，；
②当m≠－1时，
∵
∴
故综合①、②得，直线AB的倾斜角
点拨：本题容易忽视对分母等于0和斜率不存在情况的讨论.
例2.直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B、O为坐标原点.
(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;
(2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l的方程.
分析： 引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l的方程.
解 （1）设直线l的方程为y-1=k(x-2),则点A(2-,0),B(0,1-2k),且2->0, 1-2k>0,即k<0.
△AOB的面积S=(1-2k)(2-)=[(-4k)++4]≥4,当-4k=,即k=时, △AOB的面积有最小值4,则所求直线方程是x+2y-4=0.
(2)解法一:由题设,可令直线方程l为y-1=k(x-2).
分别令y=0和x=0,得A(2-,0),B(0,1-2k),
∴|PA|·|PB|=,当且仅当k2=1,即k=±1时, |PA|·|PB|取得最小值4.又k<0, ∴k=-1,这是直线l的方程是x+y-3=0.
解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,),且|PA|·|PB|=
当且仅当θ=时, |PA|·|PB|取得最小值4,此时直线l的斜率为-1, 直线l的方程是x+y-3=0.
点评 ①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度出发，构建目标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值.
例3.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段中点为P（－1，2）.求直线l的方程.
分析 本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.
解：解法一 设直线l交l1于A（a，b），则点（－2－a，4－b）必在l2，所以有
，解得
直线l过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x＋y＋1＝0.
解法二 由已知可设直线l与l1的交点为A（－1＋m，2＋n），则直线l与l2的交点为B（－1－m，2－n），且l的斜率k＝，∵A,B两点分别l1和l2上，∴，消去常数项得－3m＝n，所以k＝－3，
从而直线l的方程为3x＋y＋1＝0.
解法三 设l1、l2与l的交点分别为A,B，则l1关于点P（－1，2）对称的直线m过点B，利用对称关系可求得m的方程为4x＋y＋1＝0，因为直线l过点B，故直线l的方程可设为3x－5y－5＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直线l点P（－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l的方程为3x－5y－5－18（4x＋y＋1）＝0，即3x＋y＋1＝0.
点评 本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根据中点坐标求出直线l的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。
反馈练习：
1.已知下列四个命题①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示；②经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程+＝1表示；④经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示，其中正确的是①③④
2.设直线l的方程为,当直线l的斜率为-1时，k值为__5__,当直线l 在x轴、y轴上截距之和等于0时，k值为1或3
3.设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足的关系式为
4.若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是
5.若直线4x-3y-12＝0被两坐标轴截得的线段长为，则c的值为
6.过点P(1，1)作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为10，则直线l有4条
7.若三点共线，则的值等于.
8．若直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是
9.已知直线被两直线：4x+y+6=0与：3x一5y一6＝0截得的线段中点为坐标原点，那么直线的方程是 x+6y=0 ．
10.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程
分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答
解：∵P（2，3）在已知直线上，
∴ 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0
∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即=－
∴所求直线方程为y－b1=－（x－a1）
∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0
点拨：1.由已知求斜率; 2.运用了整体代入的思想，方法巧妙.
11.在△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.
分析：利用高线与∠A的平分线求得点A坐标,然后求出直线AC与BC的方程,从而求出C点坐标.
解 A点既在BC边的高线上,又在∠A的平分线上,
由得A(-1,0)，∴kAB=1,而x 轴是角A的平分线, ∴kAC= –1,
∴AC边所在直线方程为y=-(x+1) ①
又kBC= –2, ∴BC边所在直线方程为y–2=–2(x–1) ②
联立① ②得C的坐标为(5,–6)
点拨： 综合运用三角形和直线有关知识,寻找解题突破口,将问题转化为先求一些直线方程,再求直线的交点.这是解决这一类问题的常用办法.
12.一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）
解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，
从而方程为8x－15y+6=0
（2）设直线方程为＋＝1，a＞0，b＞0，
代入P（3，2），得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，
此时＝，∴k＝－＝－
点拨：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值
y
x
O
P
E
F
B
A
例2图