考前最后一轮基础知识巩固之第八章 第3课 圆的方程

第3课　圆的方程
【考点导读】
掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。
本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主.
【基础练习】
1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程为(x + 1)2 + (y－1)2 = 25
2.过点A（1，－1）、B（－1，1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（x－1）2＋（y－1）2＝4
3.已知圆C的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为
4.圆与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=120°，则实数c值为_-11__
5.如果方程所表示的曲线关于直线对称，那么必有__D=E__
【范例导析】
设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
分析:配成圆的标准方程再求解
解：配方得： 该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为，消去m，得，由得x=m+3所求的轨迹方程是，
注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中
变式1：方程表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。
解：原方程可化为
当a时，原方程表示圆。
又
当，所以半径最小的圆方程为
例2 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆．
圆与直线相切，且半径为4，则圆心的坐标为或．
又已知圆的圆心的坐标为，半径为3．
若两圆相切，则或．
(1)当时，，或(无解)，故可得．
∴所求圆方程为，或．
(2)当时，，或(无解)，故．
∴所求圆的方程为，或．
说明：对本题，易发生以下误解：
由题意，所求圆与直线相切且半径为4，则圆心坐标为，且方程形如．又圆，即，其圆心为，半径为3．若两圆相切，则．故，解之得．所以欲求圆的方程为，或．
上述误解只考虑了圆心在直线上方的情形，而疏漏了圆心在直线下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．
点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.
设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.
分析:注意挖掘题目的条件,充分利用圆的几何性质解决问题.
解法一:设圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.
由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴的弦长为，故r2=2b2
又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1.
又点P(a,b)到直线x 2y=0的距离为
所以5d2=│a-2b│2=a2+4b2-4ab
≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,
当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.
由此有
解此方程组得
由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是:
(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.
解法二:同解法一得
将a2=2b2-1代入上式,整理得
②
把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即
△=8(5d2-1)≥0, 得 5d2≥1.
所以5d2有最小值1，从而d有最小值
将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.
将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.
综上 a=±1,b=±1,r2=2.
由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是
(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.
点拨:求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量（圆心、半径）和圆的方程,二是代数法,即根据题意设出圆的方程,再利用条件得到有关方程系数的方程组,解方程组得到方程系数,从而求出圆的方程.
【例4】在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
(1)求圆的方程；
(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析:问题（2）可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。
解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
=2
即=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得
m2+n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8
(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为 + =1
其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。
要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。
通过联立两圆的方程解得x=，y=
即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。
点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题代数化的思想运用.
反馈练习：
1.关于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是B=0且A=C≠0,D2+E2-4AF＞0
2.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1)
3.若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x2+y2=4的内部，则k的范围是
4.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是
5.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A、B两点，则AB的中点坐标是
6.方程表示的曲线是_两个半圆
7.圆关于直线的对称圆的方程是
8.如果实数x、y满足等式，那么的最大值是
9.已知点和圆，求一束光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为___8___
10．求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;
解：设圆心P(x0,y0),则有,
解得 x0=4, y0=5,
∴半径r=,
∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10
11. 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程 ( http: / / www. / wxc / )
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，
故设圆方程为
又因为直线y=x截圆得弦长为2，
则有+=9b2，
解得b=±1 ( http: / / www. / wxc / )故所求圆方程为
或
点拨:（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法;（3）尽量利用几何关系求a、b、r或D、E、F.
12.在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．
解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．
得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得
．
设，由成等比数列，得
，
即 ．
由于点在圆内，故
由此得．
所以的取值范围为．