考前最后一轮基础知识巩固之第八章 第4课 直线与圆的位置关系

第4课　直线与圆的位置关系
【考点导读】
能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.
【基础练习】
1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是-6＜a＜4
2.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于
3.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 x=2或3x-4y-2=0 .
4..设集合,,若M∪N=M，则实数a的取值范围是-2≤a≤2
5.M（2,-3,8）关于坐标平面xOy对称点的坐标为（2，-3，-8）
【范例导析】
例1.已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.
（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
由得
即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，
∴l的方程为2x－y－5=0.
点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质.
例2.已知圆O: ，圆C: ，由两圆外一点引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.
(1)求实数a、b间满足的等量关系；
(2)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，说明理由.
分析: 问题（1）可直接根据题目条件求得,在解决问题（2）时,要注意问题（1）结论的运用.
(1)连结PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1
∴|PO|2=|PC|2，从而
化简得实数a、b间满足的等量关系为: .
(2)∵圆O和圆C的半径均为1，若存在半径为R圆P，与圆O相内切并且与圆C相外切，则有 且 于是有: 即
从而得 两边平方，整理得
将代入上式得：
故满足条件的实数a、b不存在，∴不存在符合题设条件的圆P.
点拨: 注意圆与圆的位置关系的判断.
例3.已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线的距离等于.
（1）求圆C的方程.（2）若直线与圆C相切，求证：
分析:本题要充分利用圆的几何性质以得到简单的解法.
解：（1）设圆C半径为，由已知得：
∴，或
∴圆C方程为.
（2）直线，
∵
∴ ∴
左边展开，整理得，∴
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴
点拨:有关直线和圆的位置关系,一般可以考虑圆心到直线的距离,当然也以联立方程组用代数手段解决.
例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：y=x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1, l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．
解：（1）直线设.
的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为
. 即.
已知圆C与,
圆心C在过点D且与垂直的直线上， ,又圆心C在过点A且与垂直的直线上，,，圆C的半径r=3，
故所求圆C的方程为.
（2）设点关于的对称点，则，得,固定点Q可发现，当共线时，最小，
故的最小值为.此时由,得.
反馈练习：
1.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为
2.直线x+y－2=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为
解析：如图7—7所示，
由
消y得：x2－3x+2=0
∴x1=2，x2=1
∴A（2，0），B（1，）
∴|AB|==2
又|OB|＝|OA|=2
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=，故选C.
评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB的倾斜角为120°.则等腰△OAB的底角为60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义.
3.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是
4.设m>0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为相切或相离
解析：圆心到直线的距离为d=,圆半径为.
∵d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0,
∴直线与圆的位置关系是相切或相离.
5.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为3
6.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为
7.若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为
8.已知P(3，0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是x+y-3=0 ，过点P的最长弦所在直线方程是 x-y-3=0
9.设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为 1 .
10. 已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线L交x轴、 y轴于A、B两点, O为原点, 且|OA|=a, |OB|=b (a>2,b>2)
（1）求证曲线C与直线L相切的条件是(a-2)(b-2)=2
(2)求ΔAOB面积的最小值.
解 依题意得，直线L的方程为 +=1即bx+ay-ab=0，圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1
∵直线与圆相切, ∴ eq \f(|a+b-ab|,) =1,化简: (a-2)(b-2)=2 ①
由(a-2)(b-2)=2, 得ab=2a+2b-2 ∴SΔAOB=|ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3≥2+3=2+3, 当且仅当a=b=2+时，面积有最小值：2+3.
11.已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内
部所覆盖．
(1)试求圆的方程.
(2)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程.
解:(1)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是.
(2)设直线的方程是:.
因为,
所以圆心到直线的距离是,
即
解得:.所以直线的方程是:.
12、（本题满分16分）已知⊙：和定点，由⊙外一点向⊙引切线，切点为，且满足．
(1) 求实数间满足的等量关系；
(2) 求线段长的最小值；
(3) 若以为圆心所作的⊙与⊙有公共点，试求半径取最小值时的⊙方程．
解：（1）连为切点，，由勾股定理有
又由已知，故.即：.
化简得实数a、b间满足的等量关系为：. （3分）
（2）由，得.
=.
故当时，即线段PQ长的最小值为 （7分）
（3）设P 的半径为，P与O有公共点，O的半径为1，
即且.
而，
故当时，此时, ，.
得半径取最小值时P的方程为． （12分）
解法2： P与O有公共点，P半径最小时为与O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l’ 与l的交点P0.
r = －1 = －1.
又 l’：x－2y = 0,
解方程组，得.即P0( ,).
∴所求圆方程为.
例2
x
y
O
A
B
l2
l1
l
例4
P0
l
解法2