2018-2019学年河北省石家庄二十三中七年级（下）期末数学试卷(word解析版)

2018-2019学年河北省石家庄二十三中七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（16个小题，1-10小题各3分，11-16小题各2分，共42分）
1．（3分）把58000表示成a×10n（其中1≤a≤10，n为整数）的形式，则n＝（　　）
A．﹣4 B．2 C．3 D．4
2．（3分）如图，∠3的同位角是（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠B D．∠C
3．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．12a2b＝3a?4ab B．ax﹣ay＝a（x﹣y）
C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣9 D．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1
4．（3分）如图，已知直线AB与CD平行，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，若∠1＝125°，则∠2＝（　　）
A．65° B．55° C．50° D．45°
5．（3分）下列各式中，计算结果为a8的是（　　）
A．a4+a4 B．a16÷a2 C．a4?a4 D．（﹣2a4）2
6．（3分）若一个三角形两边长分别是5cm和8cm，则第三边长可能是（　　）
A．14cm B．13cm C．10cm D．﹣3cm
7．（3分）如图是测量嘉琪跳远成绩的示意图，直线l是起跳线，以下线段的长度能作为嘉琪跳远成绩的是（　　）
A．BP B．CP C．AP D．AO
8．（3分）解方程组，如果用加减消元法消去n，那么下列方法可行的是（　　）
A．①×4+②×3 B．①×4﹣②×3 C．①×3﹣②×4 D．①×3+②×4
9．（3分）一副三角板如图放置，点D在CB的延长线上，EF∥CD，∠C＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠EFD＝30°，则∠DFB＝（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
10．（3分）下列命题：
①对顶角相等；②内错角相等；
③两条平行线之间的距离处处相等；
④有且只有一条直线垂直于已知直线．
其中是假命题的有（　　）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
11．（2分）如图，已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，则下列不等式中不正确的是（　　）
A．c＜b＜a B．ac＞ab C．cb＞ab D．c+b＜a+b
12．（2分）若x2﹣4x﹣1＝0，则代数式2x（x﹣3）﹣（x﹣1）2+3的值为（　　）
A．3 B．4 C．1 D．0
13．（2分）若关于x的不等式组的解集为x＞3，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
14．（2分）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
15．（2分）在锐角三角形ABC中，∠A＝50°，则∠B的范围是（　　）
A．0°＜∠B＜90° B．40°＜∠B＜130°
C．40°≤∠B≤90° D．40°＜∠B＜90°
16．（2分）如图，在长方形ABCD中，AB＝5，第一次平移将长方形ABCD沿AB方向向右平移4个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第二次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1方向向右平移4个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，……，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1方向向右平移4个单位长度，得到长方形AnBn?nDn（n＞2）．若ABn的长为45，则n＝（　　）
A．10 B．11 C．16 D．9
二、填空题（共12分，每小题各3分）
17．（3分）已知关于x，y的二元一次方程mx﹣2y＝2的一组解为，则m＝　 　．
18．（3分）若有理数a，b满足|a+|+b2＝0，则ab＝　 　．
19．（3分）分解因式：x3y﹣2x2y+xy＝　 　．
20．（3分）在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为　 　．
三、解答题（共6个小题，共46分）
21．（12分）计算：
（1）解方程组：；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（3）已知：（x+1）（x+2）﹣　 　＝6x+2，请计算　 　内应填写的式子．
22．（5分）在多项式的乘法公式中，完全平方公式是其中重要的一个．
（1）请你补全完全平方公式的推导过程：
（a+b）2＝（a+b）（a+b）＝a2+　 　+　 　+b2＝a2+　 　+b2
（2）如图，将边长为a+b的正方形分割成I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，请用不同的方法分别表示出这个正方形的面积，并结合图形给出完全平方公式的几何解释．
23．（6分）请同学们观察以下三个算式，并结合这些算式，回答下列问题：
32﹣1＝8×1
53﹣32＝8×2
72﹣52＝8×3
（1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式：　 　； 　 　；
（2）观察上述算式，我们发现：如果设两个连续的奇数分别为2n﹣1和2n+1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数；请用含n的式子说明上述规律的正确性．
24．（7分）如图，AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线．
（1）对于下面的五个结论：
①BC＝2BF；②∠CAE＝∠CAB；③BE＝CE；④AD⊥BC；⑤S△AFB＝S△AFC．
其中错误的是　 　（只填序号）；
（2）若∠C＝70°，∠ABC＝28°，求∠DAE的度数．
25．（7分）某超市分别以每盏150元，190元的进价购进A，B两种品牌的护眼灯，下表是近两天的销售情况．
销售日期 销售数量（盏） 销售收入（元）
A品牌 B品牌
第一天 2 1 680
第二天 3 4 1670
（1）求A，B两种品牌护眼灯的销售价；
（2）若超市准备用不超过4900元的金额购进这两种品牌的护眼灯共30盏，求B品牌的护眼灯最多采购多少盏？
26．（9分）问题解决：如图1，已知AB∥CD，E是直线AB，CD内部一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED的度数．
嘉琪想到了如图2所示的方法，但是没有解答完，下面是嘉淇未完成的解答过程：
解：过点E作EF∥AB，
∴∠ABE＝∠BEF＝40°
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
…
请你补充完成嘉淇的解答过程：
问题迁移：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题：
如图3，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，设∠BAP＝α，∠DCP＝β．
（1）当点P在B，D两点之间运动时（P不与B，D重合），求α，β和∠APC之间满足的数量关系．
（2）当点P在B，D两点外侧运动时（P不与点O重合），直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
2018-2019学年河北省石家庄二十三中七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（16个小题，1-10小题各3分，11-16小题各2分，共42分）
1．（3分）把58000表示成a×10n（其中1≤a≤10，n为整数）的形式，则n＝（　　）
A．﹣4 B．2 C．3 D．4
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：把58000表示成a×10n（其中，1≤a＜10，n为整数）的形式，故58000＝5.8×104，
则n为4．
故选：D．
2．（3分）如图，∠3的同位角是（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠B D．∠C
【分析】根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【解答】解：观察图形可知：∠3的同位角是∠C．
故选：D．
3．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．12a2b＝3a?4ab B．ax﹣ay＝a（x﹣y）
C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣9 D．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
【解答】解：A．等式的左边不是多项式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
B．把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；
C．原变形是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．（3分）如图，已知直线AB与CD平行，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，若∠1＝125°，则∠2＝（　　）
A．65° B．55° C．50° D．45°
【分析】理由平行线的性质解决问题即可．
【解答】解：∵∠1＝125°（已知），
∴∠AEC＝180°﹣∠1＝180°﹣125°＝55°（邻补角互补），
∵AB∥CD（已知），
∴∠2＝∠AEC＝55°（两直线平行，内错角相等），
故选：B．
5．（3分）下列各式中，计算结果为a8的是（　　）
A．a4+a4 B．a16÷a2 C．a4?a4 D．（﹣2a4）2
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a4+a4＝2a4，故此选项错误；
B、a16÷a2＝a14，故此选项错误；
C、a4?a4＝a8，正确；
D、（﹣2a4）2＝4a8，故此选项错误；
故选：C．
6．（3分）若一个三角形两边长分别是5cm和8cm，则第三边长可能是（　　）
A．14cm B．13cm C．10cm D．﹣3cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：∵8﹣5＜第三边＜8+5，
∴3＜第三边＜13，
∴第三边的长度可能是10cm，
故选：C．
7．（3分）如图是测量嘉琪跳远成绩的示意图，直线l是起跳线，以下线段的长度能作为嘉琪跳远成绩的是（　　）
A．BP B．CP C．AP D．AO
【分析】利用垂线段最短求解．
【解答】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短，符合题意的垂线段是AO；
故选：D．
8．（3分）解方程组，如果用加减消元法消去n，那么下列方法可行的是（　　）
A．①×4+②×3 B．①×4﹣②×3 C．①×3﹣②×4 D．①×3+②×4
【分析】利用加减消元法判断即可．
【解答】解：解方程组，如果用加减消元法消去n，那么下列方法可行的是①×3+②×4，
故选：D．
9．（3分）一副三角板如图放置，点D在CB的延长线上，EF∥CD，∠C＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠EFD＝30°，则∠DFB＝（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BFE＝45°，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠EFD＝30°，∠ABC＝45°，
∵EF∥CD，
∴∠BFE＝∠ABC＝45°，
∴∠DFB＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
10．（3分）下列命题：
①对顶角相等；②内错角相等；
③两条平行线之间的距离处处相等；
④有且只有一条直线垂直于已知直线．
其中是假命题的有（　　）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①对顶角相等，正确，是真命题；
②两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题；
③两条平行线之间的距离处处相等，正确，是真命题；
④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故错误，是假命题，
故选：B．
11．（2分）如图，已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，则下列不等式中不正确的是（　　）
A．c＜b＜a B．ac＞ab C．cb＞ab D．c+b＜a+b
【分析】先根据数轴的特点得出a＞0＞b＞c，再根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：由题意，可知a＞0＞b＞c．
A、∵a＞0＞b＞c，∴c＜b＜a，故此选项错误；
B、∵b＞c，a＞0，∴ac＜ab，故此选项正确；
C、∵c＜a，b＜0，∴cb＞ab，故此选项错误；
D、∵c＜a，∴c+b＜a+b，故此选项错误；
故选：B．
12．（2分）若x2﹣4x﹣1＝0，则代数式2x（x﹣3）﹣（x﹣1）2+3的值为（　　）
A．3 B．4 C．1 D．0
【分析】利用单项式乘多项式的计算法则和完全平方公式先算乘方和乘法，然后再算加减，最后整体代入求值．
【解答】解：原式＝2x2﹣6x﹣（x2﹣2x+1）+3
＝2x2﹣6x﹣x2+2x﹣1+3
＝x2﹣4x+2，
又∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴原式＝1+2＝3，
故选：A．
13．（2分）若关于x的不等式组的解集为x＞3，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＞a，
∵关于x的不等式组的解集为x＞3，
∴a≤3，
故选：D．
14．（2分）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，
又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，
∴3+m＝0，
解得m＝﹣3．
故选：A．
15．（2分）在锐角三角形ABC中，∠A＝50°，则∠B的范围是（　　）
A．0°＜∠B＜90° B．40°＜∠B＜130°
C．40°≤∠B≤90° D．40°＜∠B＜90°
【分析】根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵在锐角三角形ABC中，∠A＝50°，则∠B的范围是40°＜∠B＜90°，
故选：D．
16．（2分）如图，在长方形ABCD中，AB＝5，第一次平移将长方形ABCD沿AB方向向右平移4个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第二次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1方向向右平移4个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，……，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1方向向右平移4个单位长度，得到长方形AnBn?nDn（n＞2）．若ABn的长为45，则n＝（　　）
A．10 B．11 C．16 D．9
【分析】根据题意先求出AB1＝5+4，AB2＝5+4+4，…从而发现ABn＝5+4n，代入问题数值即可求解n．
【解答】解：由已知平移关系可知AB＝5，AB1＝5+4，AB2＝5+4+4，…
所以ABn＝5+4n．
当ABn的长为45时，5+4n＝45，解得n＝10．
故选：A．
二、填空题（共12分，每小题各3分）
17．（3分）已知关于x，y的二元一次方程mx﹣2y＝2的一组解为，则m＝　4　．
【分析】把代入方程mx﹣2y＝2得出3m﹣10＝2，求出m即可．
【解答】解：把代入方程mx﹣2y＝2得：3m﹣10＝2，
解得：m＝4，
故答案为：4．
18．（3分）若有理数a，b满足|a+|+b2＝0，则ab＝　1　．
【分析】首先依据非负数的性质求得a、b的值，然后利用有理数的乘方求解即可．
【解答】解：∵|a+|+b2＝0，
∴a＝﹣，b＝0．
∴ab＝（﹣）0＝1．
故答案为：1．
19．（3分）分解因式：x3y﹣2x2y+xy＝　xy（x﹣1）2　．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣2x+1）＝xy（x﹣1）2．
故答案为：xy（x﹣1）2
20．（3分）在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为　79　．
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为17，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得
，
解得，
∴S阴影＝17×（9+3×2）﹣8×11×2＝79．
故答案为：79．
三、解答题（共6个小题，共46分）
21．（12分）计算：
（1）解方程组：；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（3）已知：（x+1）（x+2）﹣　（x2﹣3x）　＝6x+2，请计算　（x2﹣3x）　内应填写的式子．
【分析】（1）利用加减法即可求得；
（2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
（3）利用减法法则可得减数所得的式子．
【解答】解：（1），
②﹣①得：4n＝8，
n＝2，
把n＝2代入①得：2m﹣2＝4，
m＝3，
则方程组的解为：；
（2）
解①得x≤5，
解②得x≥2．
则不等式组的解集是2≤x≤5．
在数轴上表示不等式组的解集是：
（3）∵（x+1）（x+2）＝x2+3x+2，
∴x2+3x+2﹣（6x+2）＝x2+3x+2﹣6x﹣2＝x2﹣3x，
故答案为：x2﹣3x．
22．（5分）在多项式的乘法公式中，完全平方公式是其中重要的一个．
（1）请你补全完全平方公式的推导过程：
（a+b）2＝（a+b）（a+b）＝a2+　ab　+　ab　+b2＝a2+　2ab　+b2
（2）如图，将边长为a+b的正方形分割成I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，请用不同的方法分别表示出这个正方形的面积，并结合图形给出完全平方公式的几何解释．
【分析】（1）依据多项式乘多项式法则，即可得到结果；
（2）依据边长为a+b的正方形分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分，即可得到完全平方公式的几何解释；
【解答】解：（1）（a+b）2＝（a+b）（a+b）
＝a2+ab+ab+b2
＝a2+2ab+b2
故答案为：ab，ab，2ab；
（2）边长为a+b的正方形的面积，等于边长分别为a和b的两个小正方形面积的和，再加上两个长为a，宽为b的长方形的面积．
23．（6分）请同学们观察以下三个算式，并结合这些算式，回答下列问题：
32﹣1＝8×1
53﹣32＝8×2
72﹣52＝8×3
（1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式：　92﹣72＝8×4　； 　112﹣92＝8×5　；
（2）观察上述算式，我们发现：如果设两个连续的奇数分别为2n﹣1和2n+1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数；请用含n的式子说明上述规律的正确性．
【分析】（1）根据已知算式写出符合题意的答案；
（2）利用平方差公式计算得出答案；
【解答】解：（1）92﹣72＝8×4，112﹣92＝8×5；
故答案为：92﹣72＝8×4；112﹣92＝8×5；（答案不唯一）
（2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数；
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）
＝2×4n
＝8n，
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
24．（7分）如图，AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线．
（1）对于下面的五个结论：
①BC＝2BF；②∠CAE＝∠CAB；③BE＝CE；④AD⊥BC；⑤S△AFB＝S△AFC．
其中错误的是　③　（只填序号）；
（2）若∠C＝70°，∠ABC＝28°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据三角形的高、角平分线和中线的定义即可得到AD⊥BC，∠CAE＝∠CAB，BC＝2BF，S△AFB＝S△AFC．
（2）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝82°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝∠CAB＝41°，∠ADC＝90°，则∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，然后利用∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC计算即可．
【解答】解：（1）∵AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线，
∴AD⊥BC，∠CAE＝∠BAE＝∠CAB，BF＝CF，BC＝2BF，
∵S△AFB＝BF?AD，S△AFC＝CF?AD，
∴S△AFB＝S△AFC，故①②④⑤正确，③错误，
故答案为③．
（2）∵∠C＝70°，∠ABC＝28°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝82°，
∴∠CAE＝∠CAB＝41°，
∵∠ADC＝90°，∠C＝70°，
∴∠DAC＝20°
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝41°﹣20°＝21°．
25．（7分）某超市分别以每盏150元，190元的进价购进A，B两种品牌的护眼灯，下表是近两天的销售情况．
销售日期 销售数量（盏） 销售收入（元）
A品牌 B品牌
第一天 2 1 680
第二天 3 4 1670
（1）求A，B两种品牌护眼灯的销售价；
（2）若超市准备用不超过4900元的金额购进这两种品牌的护眼灯共30盏，求B品牌的护眼灯最多采购多少盏？
【分析】（1）设A品牌护眼灯的销售价为x元/盏，B品牌护眼灯的销售价为y元/盏，根据总价＝单价×数量结合两天的销售情况，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购m盏B品牌的护眼灯，则采购（30﹣m）盏A品牌的护眼灯，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过4900元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A品牌护眼灯的销售价为x元/盏，B品牌护眼灯的销售价为y元/盏，
依题意，得：，
解得：．
答：A品牌护眼灯的销售价为210元/盏，B品牌护眼灯的销售价为260元/盏．
（2）设采购m盏B品牌的护眼灯，则采购（30﹣m）盏A品牌的护眼灯，
依题意，得：150（30﹣m）+190m≤4900，
解得：m≤10．
答：B品牌的护眼灯最多采购10盏．
26．（9分）问题解决：如图1，已知AB∥CD，E是直线AB，CD内部一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED的度数．
嘉琪想到了如图2所示的方法，但是没有解答完，下面是嘉淇未完成的解答过程：
解：过点E作EF∥AB，
∴∠ABE＝∠BEF＝40°
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
…
请你补充完成嘉淇的解答过程：
问题迁移：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题：
如图3，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，设∠BAP＝α，∠DCP＝β．
（1）当点P在B，D两点之间运动时（P不与B，D重合），求α，β和∠APC之间满足的数量关系．
（2）当点P在B，D两点外侧运动时（P不与点O重合），直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
【分析】问题解决：过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED的度数；
问题迁移：（1）过P作PQ∥AB，依据平行线的性质，即可得出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
（2）分两种情况讨论：过P作PQ∥AB，易得当点P在BN上时，∠APC＝β﹣α；当点P在OD上时，∠APC＝α﹣β．
【解答】解：问题解决：
如图2，过点E作EF∥AB，
∴∠ABE＝∠BEF＝40°
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠BED＝∠B+∠D＝40°+60°＝100°；
问题迁移：
（1）如图3，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠BAP＝∠APQ，∠DCP＝∠CPQ，
∴∠APC＝∠BAP+∠DCP，即∠APC＝α+β；
（2）如图4，当点P在BN上时，∠APC＝β﹣α；
如图5，当点P在OD上时，∠APC＝α﹣β．