2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市通河县八年级（下）期末数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市通河县八年级（下）期末数学试卷
一、填空题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．＝7 C．÷＝3 D．＝﹣6
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）在直角坐标系中，点P（﹣2，3）到原点的距离是（　　）
A． B． C． D．2
4．（3分）下列图形中，是轴对称图形的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．4，5，6 B．6，8，11 C．5，22，24 D．7，24，25
6．（3分）在平行四边形ABCD中，若∠A＝115°，则∠D的度数是（　　）
A．105° B．115° C．125° D．65°
7．（3分）若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（1，﹣2），则k的值是（　　）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
8．（3分）直线y＝2x﹣4与两坐标轴所围成的三角形面积等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形的周长为28，则OH的长为（　　）
A．3.5 B．4.5 C．7 D．14
10．（3分）端午节期间，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（　　）
A．甲队率先到达终点
B．甲队比乙队多走了200米
C．乙队的速度始终比甲队的速度大
D．乙队比甲队少用0.2分钟
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　．
12．（3分）计算：5÷×＝　 　．
13．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若∠1＝40°，则∠AEF＝　 　°．
14．（3分）一次函数y＝﹣2x+5的图象不经过第 　 　象限．
15．（3分）已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b＝　 　．
16．（3分）若一次函数y＝（m﹣4）x+3中，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 　 　．
17．（3分）如图，?ABCD中，AB＝3，AD＝5，对角线AC的垂直平分线交AD边于点E，则△CDE的周长为 　 　．
18．（3分）已知△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，BC＝，则AC＝　 　．
19．（3分）如图，在?ABCD中，按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径画弧，分别交BC，CD于M，N两点；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BCD的内部交于点P；⑨连接CP并延长交AD于E．若AE＝2，CE＝6，∠B＝60°，则ABCD的周长等于　 　．
20．（3分）已知矩形ABCD，点E在AD边上，DE＞AE，连接BE，将△ABE沿着BE翻折得到△BFE，射线EF交BC于G，若点G为BC的中点，FG＝1，DE＝6，则BE长为 　 　．
三、解答题（本题60分，其中21题8分，22每题7分，23题7分，24题8分，25、26、27每题各10分）
21．（8分）计算：
（1）（﹣）﹣（+）；
（2）（2+）（2﹣）÷．
22．（7分）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图，要求它的顶点均在格点上．
（1）在图①中画一个面积为10的正方形．
（2）在图②中画一个面积为12的菱形，并直接写出这个菱形的周长．
23．（7分）高尔基说：“书是人类进步的阶梯”．某单位650名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）通过计算补全条形统计图；
（2）直接写出这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；
（3）估计该单位650名职工共捐书多少本？
24．（8分）已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．
（1）如图1，求证：EG＝FC；
（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．
25．（10分）小俊奶茶店厂生产A．B两种奶茶，由于地处旅游景点区域，每天都供不应求．经过数学计算，小俊发现A种奶茶每杯生产时间为4分钟，B种奶茶每杯生产时间为1分钟，由于原料和运营时间限制，每天生产的总时间为300分钟．
（1）设A种奶茶生产x杯，B种奶茶生产y杯，则y与x之间的函数关系式y＝　 　．
（2）由于A种奶茶比较受顾客青睐，小俊决定每天生产A种奶茶不少于73杯，那么不同的生产方案有多少种？并写出每种生产方案．
（3）在（2）情况下，若A种奶茶每杯利润为3元，B种奶茶每杯利润为1元，直接写出小俊每天获得的最大利润为　 　．
26．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）如图2，连接DF、CE，探究线段DF与CE的关系并证明；
（3）图1中，若AB＝8，BG＝6，求EF长．
27．（10分）如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b交x轴于点A（8，0），交y轴正半轴于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，直线BC交x轴负半轴于点C，且AB＝AC，P为线段BC上一点，过点P作x轴的平行线交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，线段PQ的长为d，求d与m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，M为CB延长线上一点，且BM＝CP，在线段AB上是否存在点N，使△PMN是以PM为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市通河县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．＝7 C．÷＝3 D．＝﹣6
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：+不能合并，故选项A不符合题意；
＝＝＝5，故选项B不符合题意；
＝＝3，故选项C符合题意；
＝6，故选项D不符合题意；
故选：C．
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】A：应用算术平方根的算法进行求解即可得出答案；
B：应用最简二次根式的定义进行求解即可得出答案；
C：应用二次根式的乘法法则进行求解即可得出答案；
D：应用二次根式除法法则进行求解即可得出答案．
【解答】解：A：∵＝3，∴A选项不符合题意；
B：∵是最简二次根式，∴B选项符合题意；
C：∵＝3|a|，∴C选项不符合题意；
D：∵＝＝，∴D选项不符合题意．
故选：B．
3．（3分）在直角坐标系中，点P（﹣2，3）到原点的距离是（　　）
A． B． C． D．2
【分析】在平面直角坐标系中找出P点，过P作PE垂直于x轴，连接OP，由P的坐标得出PE及OE的长，在直角三角形OPE中，由PE及OE的长，利用勾股定理求出OP的长，即为P到原点的距离．
【解答】解：过P作PE⊥x轴，连接OP，
∵P（﹣2，3），
∴PE＝3，OE＝2．
在Rt△OPE中，根据勾股定理得：OP2＝PE2+OE2，
∴OP＝＝，则点P在原点的距离为．
故选：B．
4．（3分）下列图形中，是轴对称图形的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：第一，第三个图形，沿着一条直线翻折，直线两方的部分能够完全重合，所以是轴对称图形；
第二，第四个图形，找不到这样一条直线，翻折后使直线两方的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形；
所以是轴对称图形的有2个，
故选：C．
5．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．4，5，6 B．6，8，11 C．5，22，24 D．7，24，25
【分析】根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断．
【解答】解：A、42+52≠62，故不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、62+62≠112，故不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、52+222≠242，故不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、72+242＝252，故能构成直角三角形，故符合题意．
故选：D．
6．（3分）在平行四边形ABCD中，若∠A＝115°，则∠D的度数是（　　）
A．105° B．115° C．125° D．65°
【分析】根据平行四边形的邻角互补即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣115°＝65°，
故选：D．
7．（3分）若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（1，﹣2），则k的值是（　　）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
【分析】把点的坐标代入y＝kx（k≠0）即可求出k的值．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（1，﹣2），
∴﹣2＝k，
∴k＝﹣2．
故选：D．
8．（3分）直线y＝2x﹣4与两坐标轴所围成的三角形面积等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据题意易得此直线与坐标轴的两个交点坐标，该直线与坐标轴围成的三角形的面积等于×直线与x轴交点的横坐标的绝对值×直线与y轴交点的纵坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣4，
当y＝0时，x＝2，
∴所求三角形的面积＝×2×|﹣4|＝4．
故选：B．
9．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形的周长为28，则OH的长为（　　）
A．3.5 B．4.5 C．7 D．14
【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，AD＝7，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD＝7，
∴∠AOD＝90°，
∵H为AD边的中点，
∴OH＝AD＝3.5，
故选：A．
10．（3分）端午节期间，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（　　）
A．甲队率先到达终点
B．甲队比乙队多走了200米
C．乙队的速度始终比甲队的速度大
D．乙队比甲队少用0.2分钟
【分析】根据函数图象所给的信息，逐一判断．
【解答】解：A．由函数图象可知，甲走完全程需要4分钟，乙走完全程需要3.8分钟，乙队率先到达终点，本选项不合题意；
B．由函数图象可知，甲、乙两队都走了1000米，路程相同，本选项不合题意；
C．根据0～2.2分钟的时间段图象可知，甲队的速度比乙队的速度快，本选项不合题意；
D．因为4﹣3.8＝0.2分钟，所以，乙队比甲队少用0.2分钟，此选项符合题意；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 　x≠3　．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≠0，
∴x≠3，
故答案为：x≠3．
12．（3分）计算：5÷×＝　1　．
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝×＝＝1，
故答案为：1．
13．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若∠1＝40°，则∠AEF＝　110　°．
【分析】由AD∥BC，推出∠AEF+∠BFE＝180°，求出∠BFE即可解决问题．
【解答】解：∵∠BFE＝∠EFM，∠1＝40°，
∴∠BFM＝180°﹣40°＝140°，
∴∠BFE＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE＝180°，
∴∠AEF＝110°，
故答案为：110．
14．（3分）一次函数y＝﹣2x+5的图象不经过第 　三　象限．
【分析】根据一次函数的解析式和一次函数的性质，可以得到该函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+5，k＝﹣2＜0，b＝5＞0，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：三．
15．（3分）已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b＝　11　．
【分析】根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵，a、b为两个连续的整数，
∴＜＜，
∴a＝5，b＝6，
∴a+b＝11．
故答案为：11．
16．（3分）若一次函数y＝（m﹣4）x+3中，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 　m＞4　．
【分析】由一次函数的性质可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣4）x+3，若y随x的增大而增大，
∴m﹣4＞0，
解得m＞4，
故答案为：m＞4．
17．（3分）如图，?ABCD中，AB＝3，AD＝5，对角线AC的垂直平分线交AD边于点E，则△CDE的周长为 　8　．
【分析】由AC的垂直平分线交AD于E，易证得AE＝CE，又由四边形ABCD是平行四边形，即可求得AD与DC的长，继而求得答案．
【解答】解：∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，
∴△CDE的周长是：DE+DE+CE＝DC+DE+AE＝DC+AD＝3+5＝8．
故答案为：8．
18．（3分）已知△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，BC＝，则AC＝　或3　．
【分析】根据三角形的高BD的位置，分两种情形讨论即可解决问题；
【解答】解：此题存在两种情况：
（1）当高BD在△ABC内时，
在Rt△ABD中，∵AB＝4，∠A＝30°，
∴BD＝AB＝2，AD＝BD＝2，
在Rt△BCD中，CD＝＝，
∴AC＝AD+CD＝3
（2）当高BD在△ABC外时，AC′＝AD﹣DC′＝2﹣＝
故答案为：或3．
19．（3分）如图，在?ABCD中，按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径画弧，分别交BC，CD于M，N两点；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BCD的内部交于点P；⑨连接CP并延长交AD于E．若AE＝2，CE＝6，∠B＝60°，则ABCD的周长等于　28　．
【分析】首先证明△DEC是等边三角形，求出AD，DC即可解决问题．
【解答】解：由作图可知∠ECD＝∠ECB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D＝60°，
∴∠DEC＝∠ECB＝∠ECD，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE＝DC＝EC＝6，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，
∴四边形ABCD的周长为28，
故答案为28．
20．（3分）已知矩形ABCD，点E在AD边上，DE＞AE，连接BE，将△ABE沿着BE翻折得到△BFE，射线EF交BC于G，若点G为BC的中点，FG＝1，DE＝6，则BE长为 　2　．
【分析】先设AE＝EF＝x，根据DE＝6，FG＝1，可得AD＝BC＝x+6，EG＝x+1，再根据∠GEB＝∠GBE，可得EG＝BG，求出AE的长，再结合勾股定理求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
设AE＝EF＝x，
∵DE＝6，FG＝1，
∴AD＝BC＝x+6，EG＝x+1，
∵点G为BC的中点，
∴BG＝BC＝，
由折叠可得∠AEB＝∠GEB，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠GBE，
∴∠GEB＝∠GBE，
∴EG＝BG，
∴x+1＝，
解得x＝4，
在Rt△BGF中，FG＝1，BG＝BC＝＝5，
∴BF＝＝2，
在Rt△BEF中，BF＝2，EF＝AE＝4，
∴BE＝＝2．
故答案为2．
三、解答题（本题60分，其中21题8分，22每题7分，23题7分，24题8分，25、26、27每题各10分）
21．（8分）计算：
（1）（﹣）﹣（+）；
（2）（2+）（2﹣）÷．
【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并同类二次根式得出答案；
（2）直接利用乘法公式化简，再利用二次根式的除法运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣﹣
＝﹣；
（2）原式＝[（2）2﹣（）2]÷
＝（12﹣6）÷
＝6÷
＝2．
22．（7分）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图，要求它的顶点均在格点上．
（1）在图①中画一个面积为10的正方形．
（2）在图②中画一个面积为12的菱形，并直接写出这个菱形的周长．
【分析】（1）作出边长为的正方形即可；
（2）作出对角线分别为4，6的菱形即可．
【解答】解：（1）如图①中，正方形ABCD即为所求；
（2）如图②中，菱形ABCD即为所求．
∵AB＝＝，
∴菱形ABCD的周长为4．
23．（7分）高尔基说：“书是人类进步的阶梯”．某单位650名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）通过计算补全条形统计图；
（2）直接写出这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；
（3）估计该单位650名职工共捐书多少本？
【分析】（1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出捐D类书的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出平均数和中位数，写出众数；
（3）根据（2）中的平均数，可以计算出该单位650名职工共捐书多少本．
【解答】解：（1）捐D类书的有30﹣4﹣6﹣9﹣3＝8（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）＝×（4×4+5×6+6×9+7×8+8×3）＝6（本），
众数是6本，
中位数是（6+6）÷2＝6（本），
即这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数分别为6本、6本、6本；
（3）650×6＝3900（本），
答：估计该单位650名职工共捐书3900本．
24．（8分）已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．
（1）如图1，求证：EG＝FC；
（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，由平行线的性质得∠ABE＝∠CDF，易证BE＝DF，由SAS证得△ABE≌△CDF（SAS），得出AE＝FC，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD＝4S△ABO，易证AG、OB互相平分，则四边形ABGO是平行四边形，S四边形ABGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，易证OE是△ACG的中位线，则OE∥CG，易证四边形BOCG是平行四边形，S四边形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，证GO∥CD，GO＝CD，则四边形CDOG是平行四边形，S四边形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，证CG∥EF，EF＝CG，则四边形EFCG是平行四边形，S四边形EFCG＝S四边形CDOG＝S四边形ABCD．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝FC，
∵EG＝AE，
∴EG＝FC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD＝4S△ABO，
∵EG＝AE，点E为OB的中点，
∴AG、OB互相平分，
∴四边形ABGO是平行四边形，
∴S△ABO＝S△BGO，
∴S四边形ABGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，
∵OA＝OC，EG＝AE，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∵四边形ABGO是平行四边形，
∴BG∥AC，
∴四边形BOCG是平行四边形，
∴S四边形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，
∵四边形ABGO是平行四边形，
∴GO∥AB，GO＝AB，
∵AB∥CD，
∴GO∥CD，GO＝CD，
∴四边形CDOG是平行四边形，
∴S四边形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴EF＝BD＝OD，
∵四边形CDOG是平行四边形，
∴CG∥EF，CG＝OD，
∴EF＝CG，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴S四边形EFCG＝S四边形CDOG＝S四边形ABCD，
∴图中的平行四边形ABGO、平行四边形BOCG、平行四边形CDOG、平行四边形EFCG四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．
25．（10分）小俊奶茶店厂生产A．B两种奶茶，由于地处旅游景点区域，每天都供不应求．经过数学计算，小俊发现A种奶茶每杯生产时间为4分钟，B种奶茶每杯生产时间为1分钟，由于原料和运营时间限制，每天生产的总时间为300分钟．
（1）设A种奶茶生产x杯，B种奶茶生产y杯，则y与x之间的函数关系式y＝　y＝﹣4x+300　．
（2）由于A种奶茶比较受顾客青睐，小俊决定每天生产A种奶茶不少于73杯，那么不同的生产方案有多少种？并写出每种生产方案．
（3）在（2）情况下，若A种奶茶每杯利润为3元，B种奶茶每杯利润为1元，直接写出小俊每天获得的最大利润为　227元　．
【分析】（1）依据每天生产的时间为300分钟列出函数关系式即可；
（2）由A种奶茶不少于73杯，B种奶茶的杯数为非负数列不等式组求解即可；
（3）列出利润与x的函数关系式，然后依据一次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）因为每天生产的时间为300分钟，所以4x+y＝300，y＝﹣4x+300；
故答案为：y＝﹣4x+300．
（2）由题意得：，解得：73≤x≤75．
∵x为正整数，
∴x的值为73或74或75．
方案一：A种73杯，B种8杯
方案二：A种74杯，B种4杯
方案三：A种75杯，B种0杯．
（3）利润为：3x+（﹣4x+300）＝﹣x+300
故生产A种奶茶73杯，B种奶茶8杯时，利润最大为227元．
故答案为：227元．
26．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）如图2，连接DF、CE，探究线段DF与CE的关系并证明；
（3）图1中，若AB＝8，BG＝6，求EF长．
【分析】（1）根据AAS证△AED≌△BFA即可得出AE＝BF；
（2）根据SAS证△ADF≌△DCE，可证DF＝CE，根据∠ADF+∠CDF＝90°，∠DCE+∠CDF＝90°，得∠CFD＝180°﹣（∠DCE+∠CDF）＝180°﹣90°＝90°，即可得证DF⊥CE；
（3）在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：AG＝10，面积法求出BF＝，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF＝，由EF＝AF﹣AE即可得出EF的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠EAD＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠EAD＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEA＝90°，
在△AED和△BFA中，
∵，
∴△AED≌△BFA（AAS），
∴AE＝BF；
（2）DF＝CE，且DF⊥CE，证明如下：
由（1）知△AED≌△BFA，
∴DE＝AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAF+∠ADE＝90°，
∴∠EDC＝∠EAD，
在△ADF和△DCE中，
∵，
∴△ADF≌△DCE（SAS）
∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠DCE+∠CDF＝90°，
∴∠CFD＝180°﹣（∠DCE+∠CDF）＝180°﹣90°＝90°，
∴DF⊥CE；
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝8，BG＝6，
在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：
AG＝＝＝10，
∵∠AFB＝90°，
∴BF⊥AG，
∵AG×BF＝AB×BG，
∴10×BF＝8×6，
∴BF＝，
由（1）知AE＝BF，
∴AE＝，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF＝＝＝，
∴EF＝AF﹣AE＝﹣＝．
27．（10分）如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b交x轴于点A（8，0），交y轴正半轴于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，直线BC交x轴负半轴于点C，且AB＝AC，P为线段BC上一点，过点P作x轴的平行线交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，线段PQ的长为d，求d与m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，M为CB延长线上一点，且BM＝CP，在线段AB上是否存在点N，使△PMN是以PM为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可得到问题的答案；
（2）利用勾股定理得点C的坐标，设直线BC解析式为y＝kx+6，利用待定系数法得解析式，根据点Q的位置可得答案；
（3）过点M 作MG⊥PQ于G，根据AAS得△BOC≌△MGP，由全等三角形的性质得PG＝OC＝2，GM＝OB＝6，过点N作NH⊥PQ于H，过点M作MR⊥NH于点R，根据矩形的判定与性质、等腰三角形的性质可得∠RNM＝∠HPN，再由全等三角形的判定与性质可得HP＝4，最后根据待定系数法可得答案．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+b交x轴于点A（8，0），
∴0＝﹣×8+b，b＝6，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+6，令x＝0，y＝6，
∴B（0，6）．
（2）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝10＝AC，
∴OC＝2，
∴点C（﹣2，0），
设直线BC解析式为y＝kx+6，
∴﹣2k+6＝0，
∴k＝3，
∴直线BC解析式为y＝3x+6，
∵P在直线y＝3x+6上，
∴可设点P（m，3m+6），
∵PQ∥x轴，且点Q在y＝﹣x+6上，
∴Q（﹣4m，3m+6）
∴d＝﹣4m﹣m＝﹣5m，
（3）过点M 作MG⊥PQ于G，
∴∠PGM＝90°＝∠BOC，
∵PQ∥x轴，
∴∠OCB＝∠GPM，
∵CP＝BM，
∴BC＝PM，
∴△BOC≌△MGP（AAS），
∴PG＝OC＝2，GM＝OB＝6，
过点N作NH⊥PQ于H，过点M作MR⊥NH于点R，
∴∠MGH＝∠RHG＝∠MRH＝90°，
∴四边形GHRM是矩形，
∴HR＝GM＝6，
可设GH＝RM＝t，
∵△PMN是以PM为斜边的等腰直角三角形，
∴∠PNM＝90°，PN＝MN，
∴∠HNP+∠RNM＝90°，
∵∠PHN＝90°，
∴∠HNP+∠HPN＝90°，
∴∠RNM＝∠HPN，
∴Rt△PHN≌Rt△NRM（HL），
∴HN＝RM＝t，NR＝PH＝2+t，
∵HR＝HN+NR，
∴t+2+t＝6，
∴t＝2，
∴GH＝NH＝RM＝2，
∴HP＝4，
∵P（m，3m+6），
∴N（m+4，3m+6+2）即N（m+4，3m+8），
∵N在直线y＝﹣x+6上，
∴3m+8＝﹣（m+4）+6，
∴m＝﹣，P（﹣，2），N（，4）．