考前最后一轮基础知识巩固之第十一章 第4课 案例分析

第4课 案例分析
【考点导读】
1.会作两个有关联变量数据的散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.
2.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，了解回归与分析的基本思想、方法及其初步应用.
【基础练习】
1．根据下表中的数据：可求出与的线性回归方程是
x -1 0 1 2
y -1 0 1 1
2．线性回归方程表示的直线必经过的一个定点是
3．设有一个直线回归方程为 ,则变量x 增加一个单位时 ③ .
① y 平均增加 1.5 个单位 ② y 平均增加 2 个单位
③ y 平均减少 1.5 个单位 ④ y 平均减少 2 个单位
4．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是 ③ .
①都可以分析出两个变量的关系 ②都可以用一条直线近似地表示两者的关系
③都可以作出散点图 ④都可以用确定的表达式表示两者的关系
5．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是 ③ .
①|r|越大，相关程度越大
②|r|，|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大
③|r|1且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小
④以上说法都不对
【范例解析】
例1．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系．
解：（1）2×2的列联表
性别 休闲方式 看电视 运动 总计
女 43 27 70
男 21 33 54
总计 64 60 124
（2）假设“休闲方式与性别无关”
计算
因为，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，
即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”.
点评 对两个变量相关性的研究，可先计算的值，并根据临界表进行估计与判断.
例2.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：
（1）画出数据对应的散点图；
（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
（3）据（2）的结果估计当房屋面积为时的销售价格
解：（1）数据对应的散点图如图所示：
（2），，
设所求回归直线方程为，
则
故所求回归直线方程为
（3）据（2），当时，销售价格的估计值为：
（万元）
点评 因为y对x呈线性相关关系，所以可以一元线性相关的方法解决问题.
例3. 一个车间为了为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次实验，测得如下数据：
零件数x (个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
加工时间y(分) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
y与x是否具有线性相关关系？
如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；
据此估计加工200个零件所用时间为多少？
解：（1）查表可得0.05和n-2相关系数临界，
由知y与x具有线性相关关系.
(2) 回归直线方程为
（3）估计加工200个零件所用时间189分.
【反馈演练】
1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 ④ .
①角度与它的余弦值 ②正方形的边长与面积
③正n边形的边数和顶点角度之和 ④人的年龄与身高
2．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立的做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分布为和，已知在两人的试验中发现对变量x的观察数据的平均值恰好相等都为s，对变量y的观察数据的平均值恰好相等都为t,那么下列说法正确的是 ① .
①直线和有交点（s,t） ②直线和相交，但是交点未必是（s,t）
③ 直线和平行 ④ 直线和必定重合
3．下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ④ .
①正方体的棱长和体积 ②单位圆中角的度数和所对弧长
③单产为常数时，土地面积和总产量 ④日照时间与水稻的亩产量
4．对于回归方程y=4.75x+257,当x=28时,y的估计值为 390 .
5．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
性别 专业 非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据
表中的数据，得到，因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 5% .
6.为了研究失重情况下男女飞行员晕飞船的情况，抽取了89名被试者，他们的晕船情况汇总如下表，根据独立性假设检验的方法， 不能 认为在失重情况下男性比女性更容易晕船（填能或不能）
晕机 不晕机 合计
男性 23 32 55
女性 9 25 34
合计 32 57 89
7.打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？
患心脏病 未患心脏病 合计
每一晚都打鼾 30 224 254
不打鼾 24 1355 1379
合计 54 1579 1633
解：提出假设H0：打鼾与患心脏病无关，根据数据得
当H0成立时，的概率为1%，而这时
所以我们有99%的把握认为打鼾与患心脏病有关.
8.下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=;
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）
解：(1)如下图


(2) =
==4.5
==3.5
故线性回归方程为y=0.7x+0.35
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35
故耗能减少了90-70.35=19.65(吨).