考前最后一轮基础知识巩固之第十一章 第6课几何概型
文档属性
| 名称 | 考前最后一轮基础知识巩固之第十一章 第6课几何概型 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 101.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | |||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-06-04 15:33:03 | ||
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文档简介
第6课几何概型
【考点导读】
1．了解几何概型的基本特点.
2．会进行简单的几何概率的计算.
【基础练习】
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 0.004
2. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是
3. 在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是
4. 如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是 .
5. 如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率是 .
【范例解析】
例1. 在等腰Rt△ABC中， (1)在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.
（2）过直角顶点C在内作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM解：(1)在AB上截取AC′=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜）
=.
(2) 在AB上截取AC′=AC,
于是P（AM＜AC）
点评 （1）对于几何概型中的背景相同的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的（2）在利用几何概率公式计算概率时，必须注意d与D的测度单位的统一.
例2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）==
例3.将长为的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.
解：设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为.
则实验的全部结果可构成集合，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第三段，故所求结果构成的集合
所求的概率为
点评 用几何概型解题的一般步骤是：（1）适当选择观察角度；（2）把基本事件转化为与之相应的区域；（3）把事件A转化为与之对应的区域；（4）利用概率公式计算.
【反馈演练】
1. 两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是
2. 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，此人等车时间不多于10分钟的概率 ．
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
3．若x可以在的条件下任意取值，则x是负数的概率是 2/3 .
4. 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率.
解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
P(A)= ==0.01．
5.在区间上任取两实数a,b，则二次方程x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率1/2 .
6. 如下图，在一个边长为a,b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为与，高为b，向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为
7．某路公共汽车分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．
解：可以认为人在任何时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为，则该人到站的时刻的一切可能为，若在该车站等车时间少于分钟，则到站的时刻为，.
8．一个路口的红绿灯,红灯的时间为秒,黄灯的时间为秒,绿灯的时间为秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少
(1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯
解：总的时间长度为秒，设红灯为事件，黄灯为事件，
（1）出现红灯的概率
（2）出现黄灯的概率
（3）不是红灯的概率
9. 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.
解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如下图，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600（m2），阴影A的面积为30×20－26×16=184（m2）
.∴P（A）=.
10.两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去.求两人能会面的概率.
【解】以7点钟作为计算时间的起点，设甲、乙分别在x分钟和y分钟到达，则样本空间为
,画成图为如图所示的正方形.
会面的充要条件是，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影部分. 所以，
(第5题)
(第4题)
A
C
M
(2)
(1)
B
2a
r
o
M
0
l
l
0
20
20
60
60
【考点导读】
1．了解几何概型的基本特点.
2．会进行简单的几何概率的计算.
【基础练习】
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 0.004
2. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是
3. 在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是
4. 如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是 .
5. 如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率是 .
【范例解析】
例1. 在等腰Rt△ABC中， (1)在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.
（2）过直角顶点C在内作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM
=.
(2) 在AB上截取AC′=AC,
于是P（AM＜AC）
点评 （1）对于几何概型中的背景相同的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的（2）在利用几何概率公式计算概率时，必须注意d与D的测度单位的统一.
例2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
例3.将长为的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.
解：设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为.
则实验的全部结果可构成集合，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第三段，故所求结果构成的集合
所求的概率为
点评 用几何概型解题的一般步骤是：（1）适当选择观察角度；（2）把基本事件转化为与之相应的区域；（3）把事件A转化为与之对应的区域；（4）利用概率公式计算.
【反馈演练】
1. 两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是
2. 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，此人等车时间不多于10分钟的概率 ．
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
3．若x可以在的条件下任意取值，则x是负数的概率是 2/3 .
4. 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率.
解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
P(A)= ==0.01．
5.在区间上任取两实数a,b，则二次方程x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率1/2 .
6. 如下图，在一个边长为a,b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为与，高为b，向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为
7．某路公共汽车分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．
解：可以认为人在任何时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为，则该人到站的时刻的一切可能为，若在该车站等车时间少于分钟，则到站的时刻为，.
8．一个路口的红绿灯,红灯的时间为秒,黄灯的时间为秒,绿灯的时间为秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少
(1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯
解：总的时间长度为秒，设红灯为事件，黄灯为事件，
（1）出现红灯的概率
（2）出现黄灯的概率
（3）不是红灯的概率
9. 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.
解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如下图，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600（m2），阴影A的面积为30×20－26×16=184（m2）
.∴P（A）=.
10.两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去.求两人能会面的概率.
【解】以7点钟作为计算时间的起点，设甲、乙分别在x分钟和y分钟到达，则样本空间为
,画成图为如图所示的正方形.
会面的充要条件是，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影部分. 所以，
(第5题)
(第4题)
A
C
M
(2)
(1)
B
2a
r
o
M
0
l
l
0
20
20
60
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