考前最后一轮基础知识巩固之第五章 第1课 数列的概念

第1课　数列的概念
【考点导读】
了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；
理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；
能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题。
【基础练习】
1.已知数列满足，则=。
分析:由a1=0,得 由此可知: 数列是周期变化的,且三个一循环,所以可得:
2．在数列中，若，，则该数列的通项 2n-1 。
3．已知数列，满足，则的通项
1, n=1,
,n≥2. (答案:)
4．设数列的前n项和为， ，且，则____2__.
5．已知数列的前项和，则其通项 ．
【范例导析】
例1．设数列的通项公式是，则
（1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？
（2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象；
（3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？
分析：70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。
解：（1）由得：或
所以70是这个数列中的项，是第13项。
（2）这个数列的前5项是；（图象略）
（3）由函数的单调性：是减区间，是增区间，
所以当时，最小，即最小。
点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。
例2．设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数。
分析：根据题目的条件利用与的关系： ，（要特别注意讨论n=1的情况）先求出数列的通项， 再利用裂项法对数列进行求和，从而解决第2问的恒成立问题。
解：（I）依题意得，即。
当n≥2时，;
当n=1时， 所以。
（II）由（I）得，
故=。
因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,
故满足要求的最小整数为10。
点评：本题两个小问中涉及的方法都是非常常规的，与的关系的转化和裂项法求和都要求大家掌握。
例3．已知数列｛a｝满足,
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足,证明：是等差数列;
分析：本题第1问采用构造等比数列来求通项问题，第2问依然是构造问题。
解：（I）
是以为首项，2为公比的等比数列。
即　
（II）
　　①
　　　　　②；
②－①，得 即③
∴　④
③－④，得　 即　是等差数列。
点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。
备用题．在数列中，若 a1，a2 是正整数，且,3，4，5，…，则称 为“绝对差数列”.
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”中，,，数列满足；n=1，2，3，…，判断当时, 与能否无限趋近于一个常数，如果存在，求出其常数，否则说明理由；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
解：（Ⅰ）,
（答案不惟一）
（Ⅱ）因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是,,即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，不能无限趋近于一个常数，所以该常数不存在.
而当时, ,所以能无限趋近于一个常数6。
（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下：
假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,
从而 当时, ;
当 时, ；
即的值要么比至少小1，要么比至少小1.
令则
由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 ，这与()矛盾.
从而必有零项.
若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，, , 即
所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.
【反馈演练】
1．若数列前8项的值各异，且对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍 前8项值的数列为 （2） 。
（1） （2） （3） （4）
2．设Sn是数列的前n项和，且Sn=n2，则是 等差数列，但不是等比数列 。
3．设f（n）=（n∈N），那么f（n+1）－f（n）等于 。
4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn=（21n－n2－5）（n=1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 7月、8月 。
5．在数列中，则 505 。
6．数列的前项的和是。
7．在数列中，已知则数列的前项的和是。
8．在数列中，，若它的前项的和，则 6 。
9．在数列中，，则它的前10项的和是 。
10．在数列中，若，则 -10 。
11．数列中，已知，
（1）写出，，； （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？
解：（1）∵，∴，
，；
（2）令，解方程得，
∵，∴， 即为该数列的第15项。
12．数列的前项和为，已知
（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
解：由得：，
即，所以对成立。
由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。
（Ⅱ）由，得。
而，，
当时：
∴
当时：
当时：。