1.2 空间向量基本定理 课后提升同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
1.2课时 空间向量基本定理
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知false?false?false是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．false，false，false
B．false，false，false
C．false，false，false
D．false，false，false
2．下列结论错误的是（ ）.
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若false?false是两个不共线的向量，且false(false且false)，则false构成空间的一个基底
D．若false?false?false不能构成空间的一个基底，则false?false?false?false四点共面
3．如图，已知三棱锥false，点false分别是false的中点，点false为线段false上一点，且false，若记false,则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
4．有以下命题：①若false，则false与false?false共面；②若false与false?false共面，则false；③若false，则false?false?false?false四点共面；④若false?false?false?false四点共面，则false；⑤若存在false，使false，则false；⑥若false?false不共线，则空间任一向量false(false).其中真命题是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．③④⑥
5．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若false，false，false，则下列向量中与false相等的向量是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
6．设false,false,false，且false是空间的一个基底，给出下列向量组：①false，②false，③false}，④false．其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若false是空间的一个基底，falsefalse则false的值分别为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
8．已知非零向量false，false，且false、false、false不共面．若false，则false（ ）．
A．false
B．false
C．false
D．false
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．给出下列命题，其中不正确的为（ ）
A．若false，则必有false与false重合，false与false重合，false与false为同一线段
B．若false，则false是钝角
C．若false，则false与false一定共线
D．非零向量false?false?false满足false与false，false与false，false与false都是共面向量，则false?false?false必共面
10．定义向量的外积：false叫做向量false与false的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1）false，false，且false?false和false构成右手系(三个向量的方向依次与拇指?食指?中指的指向一致)；（2）false的模false (false表示向量false?false的夹角).如图所示，在正方体false中，有以下四个结论中，不正确的有（ ）
A．false与false方向相反
B．false
C．false与正方体表面积的数值相等
D．false与正方体体积的数值相等
11．设false是空间一个基底，下列选项中正确的是（ ）
A．若false，false，则false
B．则false两两共面，但false不可能共面
C．对空间任一向量false，总存在有序实数组false，使false
D．则false，false，false一定能构成空间的一个基底
12．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量false，false与空间任意向量都不能构成基底，则false；
B．若非零向量false，false，false满足false，false，则有false；
C．若false，false，false是空间的一组基底，且false，则false，false，false，false四点共面；
D．若向量false，false，false，是空间一组基底，则false，false，false也是空间的一组基底.
三、填空题。本大题共4小题。
13．下列关于空间向量的命题中，正确的有______．
①若向量false，false与空间任意向量都不能构成基底，则false；
②若非零向量false，false，false满足false，false，则有false；
③若false，false，false是空间的一组基底，且false，则false，false，false，false四点共面；
④若向量false，false，false，是空间一组基底，则false，false，false也是空间的一组基底．
14．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且false，现用基底{false}表示向量false，有false=xfalse+yfalse+zfalse，则x，y，z的值分别为____．
15．已知空间四边形ABCD中，false，false，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则false＝________．
16．已知false，false，若false，则α，β，λ的值分别为________.
四、解答题。本大题共4小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．底面为正三角形的斜棱柱false中，false为false的中点，求证：false平面false
18．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值．
19．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设false，E，F分别是AD1，BD的中点．
（1）用向量false表示false，false；
（2）若false，求实数x，y，z的值．
20．如图，已知false平面false，四边形false为正方形，false为false的重心，false，试用基底false表示向量false.
参考答案
1．C
2．C
3．C
【解析】falsefalse，false．falsefalse
falsefalse，
故选：false．
4．B
【解析】解：①正确，由平面向量基本定理可得，若false，则false与false?false共面；
②不正确，若false?false均为零向量，false为非零向量，则后式不成立，
③正确，由平面向量基本定理得，
④不正确，若false?false均为零向量，false为非零向量，则后式不成立，
⑤不正确，若false?false为相反向量时，false，false，
⑥不正确，若false?false不共线，当false与false?false所在的平面垂直时，则后式不成立，
故选：B.
5．A
【解析】false，
false，
false，
false，
false
故选：A.
6．C
【解析】如图所示，令false，falsefalse，
则false，false，false，false，
.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量false也不共面，同理false和false也不共面，而false共面，
故选：C.
7．A
【解析】false
∴false，
由空间向量基本定理，得false，即false.
故选：A.
8．B
【解析】false且false，∴false，即false，
又false、false、false不共面，∴false，解得false，false，false.
故选：B.
9．ABD
【解析】A选项，考虑平行四边形false中，满足false，
不满足false与false重合，false与false重合，false与false为同一线段，故A错，
B选项，当两个非零向量false?false的夹角为false时，满足false，
但它们的夹角不是钝角，故B错，
C选项，当false时，false，则false与false一定共线，故C对，
D选项，考虑三棱柱false，false?false?false，
满足false与false，false与false，false与false都是共面向量，但false，false，false不共面，故D错，
故选ABD.
10．ABD
【解析】A选项，根据向量外积的第一个性质可知false与false的方向相同，故A错，
B选项，根据向量外积的第一个性质可知false与false的方向相反，
不可能相等，故B错，
C选项，根据向量外积的第二个性质可知正方形false的面积为false，则false与正方体表面积的数值相等，故C对，
D选项，false与false的方向相反，则false，故D错，
故选：ABD.
11．BCD
【解析】由false是空间一个基底，知：
在A中，若false，false，则false与false的夹角不一定是false，故A错误；
在B中，false两两共面，但false不可能共面，故B正确；
在C中，根据空间向量的基本定理可知C正确；
在D中，因为false不共面，假设false，false，false共面，设false，化简得false，可得false共面，与已知矛盾，所以false，false，false不共面，可作为基底，故D正确.
故选：BCD.
12．ACD
【解析】解：对于A：若向量false，false与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即false，故A正确；
对于B：若非零向量false，false，false满足false，false，则false与false不一定共线，故B错误；
对于C：若false，false，false是空间的一组基底，且false，
则false，即false，
可得到false，false，false，false四点共面，故C正确；
对于D：若向量false，false，false，是空间一组基底，
则空间任意一个向量false，存在唯一实数组false，
使false，
则false，false，false也是空间的一组基底.
故选：ACD.
13．①③④
【解析】对于①：若向量false， false与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即false，故①正确；
对于②：若非零向量false，false，false满足false，false，则false与false不一定共线，故②错误；
对于③：若false，false，false是空间的一组基底，且false，
则false，即false，
可得到false，false四点共面，故③正确；
对于④：若向量false，false，false，是空间一组基底，则空间任意一个向量false ，
存在唯一实数组false，使得false，
由false的唯一性，则false，false，false也是唯一的
则false，false，false也是空间的一组基底，故④正确．
故答案为：①③④
14．x=false，y=false，z=false．
【解析】∵false=false+false=false+false=false+false
false+false=false
∴x=false，y=false，z=false．
故答案为：x=false，y=false，z=false．
15．false
【解析】解析：因为false,false，
所以两式相加得false．
因为E为AC中点，故false，同理false，
所以false
所以false．
故答案为：false.
16．false
【解析】false，
因此false，于是有
falsefalse.
故答案为：false
17．证明见解析
【解析】证明：记false?false?false，
则false，false，false，
∴false，∴false?false?false共面，
∵false平面false，∴false平面false.
18．false.
【解析】因为false两两不共线，所以false可以作为空间的一个基底，
且false，false
又false ，
∴false
＝a2＋b2＋a2＋2abcos 120°－0－2abcos 120°＝2a2＋b2，
false
∴false.
又false false
＝0＋a2＋abcos 120°＋abcos 120°－a2－0＝－ab.
∴false
∴异面直线BD1和AC所成角的余弦值为false .
19．（1）false，false；（2）false．
【解析】解：（1）false,
false
（2）false
false
false
false
所以false
20．false， false.
【解析】延长false交false于点false，则false为false的中点，
false
false
false；
false
false
false