考前最后一轮基础知识巩固之第五章 第4课 数列的应用

第4课　数列的应用
【考点导读】
1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
2．注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。
【基础练习】
1．将正偶数按下表排成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
第4行 32 30 28 26
… … … … …
则2008在第 251 行 ，第 5 列。
2．图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第个图包含 个互不重叠的单位正方形.
3．若数列中，，且对任意的正整数、都有，则 .
4．设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为 。
5．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则 。
【范例导析】
例1．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到 ，记为 ；②当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一个结果的倍。
（1）当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？并求的表达式；
（2）记为数列的前项的和。当从B口得到16112195的倒数时，求此时对应的的值.
分析：根据题意可以知道，所以可以采用迭乘法求出的表达式，
这样就可以解决题目中的问题。
解：（1）由题意可知：
∵ ∴
∴
∴
（2）
∴
由得： ∴
点评：本题考查了迭乘法求数列的通项，裂项法求数列的前项和，更主要的是能从题目的描述中把数列分离出来，也就是理解题目的含义。
例2．已知正数组成的两个数列，若是关于的方程的两根
（1）求证：为等差数列；
（2）已知分别求数列的通项公式；
（3）求数。
（1）证明：由的两根得：
是等差数列
（2）由（1）知
∴　　　又也符合该式，
（3） ①
②
①—②得
.
点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。
例3．设数列满足 ，且数列是等差数列，数列是等比数列。
（I）求数列和的通项公式；
（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。
解：由题意得：
＝ ；
由已知得公比
（2）
，所以当时，是增函数。
又， 所以当时，
又， 所以不存在，使。
备用题．已知点和互不相同的点，，，…，，…，满足，其中分别为等差数列和等比数列，为坐标原点，若是线段的中点.
（1）求的值；
（2）点，，，…，，…能否共线？证明你的结论；
（3）证明：对于给定的公差不零的，都能找到唯一的一个，使得，，，…，，…，都在一个指数函数的图象上.
解：（1）是线段的中点
又， 且不共线，
由平面向量基本定理，知：
(2) 由
设的公差为，的公比为，则由于，，，…，，…互不相同，
所以，不会同时成立；
若，则，
，，，…，，…都在直线上；
若，则为常数列，
，，，…，，…都在直线上；
若且，，，，…，，…共线
与共线（）
与矛盾，
∴当且时，，，，…，，…不共线.
（3）设都在指数函数的图像上，则
令，则，
于是，有唯一解，
由于，，从而满足条件“，，，…，，…互不相同”。
∴当对于给定的，都能找到唯一的一个，
使得，，，…，，…，都在指数函数的图象上。
【反馈演练】
1．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低，则平均每年应降低成本 。
2．在中，是以为第三项，4为第七项的等差数列的公差，是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 锐角三角形 。
3．等比数列的前项和为，，则 54 。
4．数列是公差不为零的等差数列，且是一等比数列的连续三项，若该等比数列的首项为3，则 。
5．设为等差数列，为数列的前项和，已知，为数列｛｝的前项和，则．
6．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入元定期储蓄，利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为。（用式子作答）
7．在数列中，，记，则使成立的最小正整数 11 。
8．在等差数列中，若，则有成立。类比上述性质，相应地，在等比数列中，若，则有等式。
9.已知数列
（1）求数列的通项公式； （2）求证数列是等比数列；
（3）求使得的集合.
解：（1）设数列，由题意得：
解得：
（2）由题意知：，
为首项为2，公比为4的等比数列
（2）由
10. 为减少市区的环境污染，有关部门决定，从2006年开始停止办理市区摩托车入户手续.此时该区域内居民摩托车拥有量已达1.6万辆.据测算，每7辆摩托车排放污染物总量等于一辆公交车排放的污染物，而每辆摩托车的运送能力是一辆公交车运送能力的4%.若从2006年年初起年内退役部分摩托车，第一年退役万辆，以后每年退役的摩托车数量是上一年的80%，同时增加公交车的数量，使新增公交车的运送能力等于退役摩托车原有的运送能力.
（1）求年内新增公交车的总量（万辆）;
（2）要求到2010年年初，剩余摩托车与新增公交车排放污染物的总量不超过原有1.6万辆摩托车排放污染物总量的一半，假定每辆摩托车排放污染物数量为,问第一年至少退役摩托车多少万辆？（精确到0.01）.
解：（1）由题意知，第一年退役摩托车万辆，第二年万辆，第n年万辆，
所以，n年共退役摩托车
根据所给条件得：
因此n年内新增公交车的总量为万辆；
（2）由题意，经过4年剩余摩托车排放污染物为：，
新增公交车排放的污染物为：，
据题意
+
则
答： 第一年至少退役摩托车0.38万辆.
11. 设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为（）.
（1）求、的值及的表达式；
（2）设，为的前项和，求.
解：（1）由已知易于得到， ；
当时，，可取格点个；当时,，可取格点个
∴.
（2）由题意知:
………①
∴ ………②
∴①—②得
∴
12.已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，满足关系.
（1）证明：是等比数列；
（2）在正数数列中，设，求数列中的最大项.
解：（1）证明：∵ ① ∴ ②
②－①，得
∵ 故数列{an}是等比数列
（2）解：据（Ⅰ）可知
由，得
令
∵在区间（0，e）上，
∴在区间为单调递减函数.
∴是递减数列 又
∴数列中的最大项为.