第4课 数列的应用
【考点导读】
1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
2．注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。
【基础练习】
1．将正偶数按下表排成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
第4行 32 30 28 26
… … … … …
则2008在第 251 行 ，第 5 列。
2．图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第个图包含 个互不重叠的单位正方形.
3．若数列中，，且对任意的正整数、都有，则 .
4．设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为 。
5．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则 。
【范例导析】
例1．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到 ，记为 ；②当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一个结果的倍。
（1）当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？并求的表达式；
（2）记为数列的前项的和。当从B口得到16112195的倒数时，求此时对应的的值.
分析：根据题意可以知道，所以可以采用迭乘法求出的表达式，
这样就可以解决题目中的问题。
解：（1）由题意可知：
∵ ∴
∴
∴
（2）
∴
由得： ∴
点评：本题考查了迭乘法求数列的通项，裂项法求数列的前项和，更主要的是能从题目的描述中把数列分离出来，也就是理解题目的含义。
例2．已知正数组成的两个数列，若是关于的方程的两根
（1）求证：为等差数列；
（2）已知分别求数列的通项公式；
（3）求数。
（1）证明：由的两根得：
是等差数列
（2）由（1）知
∴ 又也符合该式，
（3） ①
②
①—②得
.
点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。
例3．设数列满足 ，且数列是等差数列，数列是等比数列。
（I）求数列和的通项公式；
（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。
解：由题意得：
＝ ；
由已知得公比
（2）
，所以当时，是增函数。
又， 所以当时，
又， 所以不存在，使。
备用题．已知点和互不相同的点，，，…，，…，满足，其中分别为等差数列和等比数列，为坐标原点，若是线段的中点.
（1）求的值；
（2）点，，，…，，…能否共线？证明你的结论；
（3）证明：对于给定的公差不零的，都能找到唯一的一个，使得，，，…，，…，都在一个指数函数的图象上.
解：（1）是线段的中点
又， 且不共线，
由平面向量基本定理，知：
(2) 由
设的公差为，的公比为，则由于，，，…，，…互不相同，
所以，不会同时成立；
若，则，
，，，…，，…都在直线上；
若，则为常数列，
，，，…，，…都在直线上；
若且，，，，…，，…共线
与共线（）
与矛盾，
∴当且时，，，，…，，…不共线.
（3）设都在指数函数的图像上，则
令，则，
于是，有唯一解，
由于，，从而满足条件“，，，…，，…互不相同”。
∴当对于给定的，都能找到唯一的一个，
使得，，，…，，…，都在指数函数的图象上。
【反馈演练】
1．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低，则平均每年应降低成本 。
2．在中，是以为第三项，4为第七项的等差数列的公差，是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 锐角三角形 。
3．等比数列的前项和为，，则 54 。
4．数列是公差不为零的等差数列，且是一等比数列的连续三项，若该等比数列的首项为3，则 。
5．设为等差数列，为数列的前项和，已知，为数列｛｝的前项和，则．
6．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入元定期储蓄，利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为。（用式子作答）
7．在数列中，，记，则使成立的最小正整数 11 。
8．在等差数列中，若，则有成立。类比上述性质，相应地，在等比数列中，若，则有等式。
9.已知数列
（1）求数列的通项公式； （2）求证数列是等比数列；
（3）求使得的集合.
解：（1）设数列，由题意得：
解得：
（2）由题意知：，
为首项为2，公比为4的等比数列
（2）由
10. 为减少市区的环境污染，有关部门决定，从2006年开始停止办理市区摩托车入户手续.此时该区域内居民摩托车拥有量已达1.6万辆.据测算，每7辆摩托车排放污染物总量等于一辆公交车排放的污染物，而每辆摩托车的运送能力是一辆公交车运送能力的4%.若从2006年年初起年内退役部分摩托车，第一年退役万辆，以后每年退役的摩托车数量是上一年的80%，同时增加公交车的数量，使新增公交车的运送能力等于退役摩托车原有的运送能力.
（1）求年内新增公交车的总量（万辆）;
（2）要求到2010年年初，剩余摩托车与新增公交车排放污染物的总量不超过原有1.6万辆摩托车排放污染物总量的一半，假定每辆摩托车排放污染物数量为,问第一年至少退役摩托车多少万辆？（精确到0.01）.
解：（1）由题意知，第一年退役摩托车万辆，第二年万辆，第n年万辆，
所以，n年共退役摩托车
根据所给条件得：
因此n年内新增公交车的总量为万辆；
（2）由题意，经过4年剩余摩托车排放污染物为：，
新增公交车排放的污染物为：，
据题意
+
则
答： 第一年至少退役摩托车0.38万辆.
11. 设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为（）.
（1）求、的值及的表达式；
（2）设，为的前项和，求.
解：（1）由已知易于得到， ；
当时，，可取格点个；当时,，可取格点个
∴.
（2）由题意知:
………①
∴ ………②
∴①—②得
∴
12.已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，满足关系.
（1）证明：是等比数列；
（2）在正数数列中，设，求数列中的最大项.
解：（1）证明：∵ ① ∴ ②
②－①，得
∵ 故数列{an}是等比数列
（2）解：据（Ⅰ）可知
由，得
令
∵在区间（0，e）上，
∴在区间为单调递减函数.
∴是递减数列 又
∴数列中的最大项为.第3课 数列的求和
【考点导读】
对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有：
（1）公式法：⑴ 等差数列的求和公式，⑵ 等比数列的求和公式
（2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含因式，周期数列等等）
（3）倒序相加法：如果一个数列｛a｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2
（4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。
（5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和变成首尾若干少数项之和。
【基础练习】
1．已知公差不为0的正项等差数列｛an｝中,Sn为前n项之和,lga1、lga2、lga4成等差数列，若a5=10,
则S5 = 30 。
2．设，则等于。
3．已知数列｛an｝是等差数列，首项a1<０，a2005＋a2006<０，a2005·a2006<０，则使前n项之和
Sn<０成立的最大自然数n是 ４０１０ 。
4．已知数列｛an｝是等差数列,且a2=8,a8=26,从｛an｝中依次取出第3项,第9项,第27项…,第3n项,按原来的顺序构成一个新的数列｛bn｝, 则bn=__3n+1+2___
5． 若数列满足：，2，3….则.
【范例导析】
例1.已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且
（Ⅰ）求； （Ⅱ）设，求数列
解：（I）依题意
（II）
点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。
例2．数列前项之和满足：
求证：数列是等比数列；
若数列的公比为,数列满足：，求数列的通项公式；
定义数列为，，求数列的前项之和。
解：（1）由得：
两式相减得： 即,
∴数列是等比数列。
（2），则有 ∴。
（3），
∴
点评：本题考查了与之间的转化问题，考查了基本等差数列的定义，还有裂项相消法求和问题。
例3．已知数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和；
（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．
分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。
解：（Ⅰ），，
又，数列是首项为，公比为的等比数列．
， 即.
（Ⅱ）．
．
（Ⅲ）， ．
当时，则
．
， 对任意的，．
点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第二问分组求和法是非常常见的方法，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，放缩的目的是利于求和，所以通常会放成等差、等比数列求和，或者放缩之后可以裂项相消求和。
备用题．已知数列，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.
解：（Ⅰ）由已知， ； ，
两边取对数得：，即；
是公比为2的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 （*）
=；
由（*）式得
（Ⅲ）
又 ； ； ； 又 .
【反馈演练】
1．已知数列的通项公式，其前项和为，则数列的前10项的和为 75 。
2．已知数列的通项公式，则它的前项和为。
3．已知数列的通项公式，其前项和为，则 377 。
4．已知数列中，则数列的前项和为。
5．数列的前项和为。
6．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为。
7．已知数列中，且有，则数列的通项公式为
，前项和为。
8．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是
解：，曲线在x=2处的切线的斜率为
切点为, 所以切线方程为, 令x=0得：,
设，则数列的前n项和为：
9．数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N*都有an＞0, 且(n+1)an2+an·an+1－nan+12=0，
又知数列{bn}的通项为bn=2n－1+1.
(1)求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn；
解：(1）可解得，从而an=2n，有Sn=n2+n，
(2)Tn=2n+n－1.
10．数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;
(3)设bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
解：(1）由an+2=2an+1－anan+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差数列，
d==－2,∴an=10－2n.
(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，当n≤5时，Sn=－n2+9n，当n＞5时，Sn=n2－9n+40，
故Sn=
(3)bn=
；要使Tn＞总成立，需＜T1=成立，即m＜8且m∈Z，故适合条件的m的最大值为7.
11．设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…).
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4…)，求数列{bn}的通项bn；
(3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.
解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t. ∴a2=.
又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t， ①
3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t ②
①－②得3tan－(2t+3)an－1=0.
∴,n=2,3,4…, 所以{an}是一个首项为1公比为的等比数列；
(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn－1?.
可见{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列. 于是bn=1+(n－1)=;
(3)由bn=,可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，于是b2n=,
∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1?
=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)
=－ (b2+b4+…+b2n)=－·n(+)=－ (2n2+3n)
12．已知为锐角，且，函数，
数列{an}的首项.
⑴ 求函数的表达式； ⑵ 求证：；
⑶ 求证：
分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。
解：⑴ 又∵为锐角
∴ ∴
⑵ ∵ ∴都大于0
∴ ∴
⑶ ∴
∴
∵, , 又∵
∴ ∴
∴
点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。第1课 数列的概念
【考点导读】
了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；
理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；
能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题。
【基础练习】
1.已知数列满足，则=。
分析:由a1=0,得 由此可知: 数列是周期变化的,且三个一循环,所以可得:
2．在数列中，若，，则该数列的通项 2n-1 。
3．已知数列，满足，则的通项
1, n=1,
,n≥2. (答案:)
4．设数列的前n项和为， ，且，则____2__.
5．已知数列的前项和，则其通项 ．
【范例导析】
例1．设数列的通项公式是，则
（1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？
（2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象；
（3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？
分析：70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。
解：（1）由得：或
所以70是这个数列中的项，是第13项。
（2）这个数列的前5项是；（图象略）
（3）由函数的单调性：是减区间，是增区间，
所以当时，最小，即最小。
点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。
例2．设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数。
分析：根据题目的条件利用与的关系： ，（要特别注意讨论n=1的情况）先求出数列的通项， 再利用裂项法对数列进行求和，从而解决第2问的恒成立问题。
解：（I）依题意得，即。
当n≥2时，;
当n=1时， 所以。
（II）由（I）得，
故=。
因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,
故满足要求的最小整数为10。
点评：本题两个小问中涉及的方法都是非常常规的，与的关系的转化和裂项法求和都要求大家掌握。
例3．已知数列｛a｝满足,
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足,证明：是等差数列;
分析：本题第1问采用构造等比数列来求通项问题，第2问依然是构造问题。
解：（I）
是以为首项，2为公比的等比数列。
即
（II）
①
②；
②－①，得 即③
∴ ④
③－④，得 即 是等差数列。
点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。
备用题．在数列中，若 a1，a2 是正整数，且,3，4，5，…，则称 为“绝对差数列”.
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”中，,，数列满足；n=1，2，3，…，判断当时, 与能否无限趋近于一个常数，如果存在，求出其常数，否则说明理由；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
解：（Ⅰ）,
（答案不惟一）
（Ⅱ）因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是,,即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，不能无限趋近于一个常数，所以该常数不存在.
而当时, ,所以能无限趋近于一个常数6。
（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下：
假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,
从而 当时, ;
当 时, ；
即的值要么比至少小1，要么比至少小1.
令则
由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 ，这与()矛盾.
从而必有零项.
若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，, , 即
所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.
【反馈演练】
1．若数列前8项的值各异，且对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍 前8项值的数列为 （2） 。
（1） （2） （3） （4）
2．设Sn是数列的前n项和，且Sn=n2，则是 等差数列，但不是等比数列 。
3．设f（n）=（n∈N），那么f（n+1）－f（n）等于 。
4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn=（21n－n2－5）（n=1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 7月、8月 。
5．在数列中，则 505 。
6．数列的前项的和是。
7．在数列中，已知则数列的前项的和是。
8．在数列中，，若它的前项的和，则 6 。
9．在数列中，，则它的前10项的和是 。
10．在数列中，若，则 -10 。
11．数列中，已知，
（1）写出，，； （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？
解：（1）∵，∴，
，；
（2）令，解方程得，
∵，∴， 即为该数列的第15项。
12．数列的前项和为，已知
（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
解：由得：，
即，所以对成立。
由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。
（Ⅱ）由，得。
而，，
当时：
∴
当时：
当时：。第五章 数列
【知识图解】
【方法点拨】
1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证．
2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．
3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化．
4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等．
5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．
函 数
数 列
一般数列
通项
前项 和
特殊数列
等差数列
等比数列
通项公式
中项性质
前项和公式
公式
通项公式
中项性质
前项和公式
公式第2课 等差、等比数列
【考点导读】
掌握等差、等比数列的通项公式、前项和公式，能运用公式解决一些简单的问题；
理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系；
注意函数与方程思想方法的运用。
【基础练习】
1．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，首项a1= -2 ，公差d= 3 。
2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是，第2项是 8 。
3．．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为二个），经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成 512 个。
4．设是公差为正数的等差数列，若，，则。
5．公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 3 。
【范例导析】
例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有
13 项。
（2）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。
（3）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝ 。
解：（1）答案：13
法1：设这个数列有n项
∵ ∴
∴n＝13
法2：设这个数列有n项
∵
∴ ∴
又 ∴n＝13
（2）答案：2 因为前三项和为12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝＝4
又a1·a2·a3＝48， ∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8，
把a1，a3作为方程的两根且a1＜a3，
∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴选B.
（3）答案为。
点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。
例2．（1）已知数列为等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明
分析：（1）借助通过等差数列的定义求出数列的公差，再求出数列的通项公式，（2）求和还是要先求出数列的通项公式，再利用通项公式进行求和。
解：（1）设等差数列的公差为d，
由 即d=1。
所以即
（II）证明：因为，
所以
点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。
例3．已知数列的首项（是常数，且），（），数列的首项，（）。
（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；
（3）当a>0时，求数列的最小项。
分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由的不同而要进行分类讨论。
解：（1）∵ ∴
(n≥2)
由得，，∵，∴ ，
即从第2项起是以2为公比的等比数列。
（2）
当n≥2时，
∵是等比数列, ∴(n≥2)是常数， ∴3a+4=0，即 。
（3）由（1）知当时，，
所以，所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……
显然最小项是前三项中的一项。
当时，最小项为8a-1； 当时，最小项为4a或8a-1；
当时，最小项为4a； 当时，最小项为4a或2a+1；
当时，最小项为2a+1。
点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。
备用题．1．（1）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ C ）
A.d＜0 B.a7＝0
C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
（2）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ C ）
A.130 B.170 C.210 D.260
解：（1）答案：C；
由S5
0，
又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，
由S7>S8，得a8<0，而C选项S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，
由题设a7=0，a8<0，显然C选项是错误的。
（2）答案：C
解法一：由题意得方程组，
视m为已知数，解得，
∴。
解法二：设前m项的和为b1，第m+1到2m项之和为b2，第2m+1到3m项之和为b3，则b1，b2，b3也成等差数列。
于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40。∴b3=b2+d=70+40=110
∴前3m项之和S3m=b1+b2+b3=210.
解法三：取m=1，则a1=S1=30，a2=S2－S1=70，从而d=a2－a1=40。
于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。
点评：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数m，题给数列前3m项的和是与m无关的不变量，在含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影。
2．设等比数列的前项和为，求证：
分析：涉及等比数列的前项和问题一定要注意考虑公比是否为1的问题。
证明略。（分公比两种情况分别利用公式带入验证即可。）
【反馈演练】
1．已知等差数列中，，则前10项的和＝ 210 。
2．在等差数列中，已知则＝ 42 。
3．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 3 。
4．如果成等比数列，则 3 ， -9 。
5．设、是项数相同的两个等比数列，为非零常数，现有如下几个数列，其中必为等比数列的有 （3） 。
（1） （2） （3） （4）
6．已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于 100 。
解：由题意得：a1＋a200＝1，故为100。
7．已知正数等比数列，若，则公比的取值范围是。
8．已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0(8,+∞)_______.
9．等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为__第11项a11=29_______.
10．已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则=____2___.
11．设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前n项和S10及T10.
解：∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列，∴a2+a4=2a3, b2·b4=b32,
已知a2+a4=b3,b2·b4=a3, ∴b3=2a3,a3=b32, 得b3=2b32,
∵b3≠0, ∴b3=,a3=. 由a1=1,a3=，知{an}的公差d=－,
∴S10=10a1+d=－.
由b1=1,b3=, 知{bn}的公比q=或q=－,
12．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列a,a,…,a,…为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)记Tn=Cb1+Cb2+Cb3+…+Cbn,求.
解：(1)由题意知a52=a1·a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)a1d=2d2,
∵d≠0,∴a1=2d,数列{}的公比q==3,
∴=a1·3n－1 ① 又=a1+(bn－1)d= ②
由①②得a1·3n－1=·a1. ∵a1=2d≠0,∴bn=2·3n－1－1.
(2)Tn=Cb1+Cb2+…+Cbn=C (2·30－1)+C·(2·31－1)+…+C(2·3n－1－1)
=(C+C·32+…+C·3n)－(C+C+…+C)
=［(1+3)n－1］－(2n－1)= ·4n－2n+,
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由.
解：(1)依题意有：
解之得公差d的取值范围为－＜d＜－3.
(2)解法一：由d＜0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk为最大值的条件为：ak≥0且ak+1＜0,即
∵a3=12, ∴， ∵d＜0, ∴2－＜k≤3－
∵－＜d＜－3,∴＜－＜4,得5.5＜k＜7.
因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大.
解法二：由d＜0得a1>a2>…>a12>a13，
因此若在1≤k≤12中有自然数k,使得ak≥0,且ak+1＜0,则Sk是S1，S2，…，S12中的最大值。又2a7=a1+a13=S13＜0, ∴a7＜0, a7+a6=a1+a12=S12>0, ∴a6≥－a7>0
故在S1，S2，…，S12中S6最大.
解法三：依题意得：
最小时，Sn最大；
∵－＜d＜－3, ∴6＜(5－)＜6.5.
从而，在正整数中，当n=6时，［n－ (5－)］2最小，所以S6最大.
点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.
第(2)问难度较高，为求{Sn}中的最大值Sk（1≤k≤12）：思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak≥0且ak+1＜0；而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解；思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解，它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.