考前最后一轮基础知识巩固之第十二章检测

本章自主检测
一．填空题
1．在导数定义中，自变量x的增量△x与0的大小关系是 不等于0 。（填大于0、小于0、等于0或不等于0）
2．已知函数y= f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则= 2f ′(x0) 。
3．抛物线y= x2上点M(，)的切线倾斜角是 45° 。
4．曲线y＝x3－3x＋1在点（1，－1）处的切线方程为 y＝－1 。
5． 函数已知时取得极值，则= 5 。
6．设则。
7．函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 3，-17 .
8．若曲线y=h(x)在点P(a, h(a))处的切线方程为2x+y+1=0，则与0的大小关系是 0。
9．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是2x－y+4=0。
10．在曲线y=x3+3x2+6x－10的切线斜率中斜率最小的切线方程是 3x－y－11＝0 　。
11．某物体做直线运动，其运动规律是s=t2+( t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为.
12．若函数恰有3个单调区间，则的取值范围是。
13．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式为。
14．（理科）（1）设函数。若是奇函数，则。
（2）由与轴围成的介于0与之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为。
（文科）（1）函数的最大值是。
（2）已知函数的导函数是，且的图象过点，当函数取得极大值时， 0 。
二、解答题：本大题共5小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分） 已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
解： 由题意得：
∴
的图象是开口向下的抛物线，
16．（本小题满分14分）已知是函数的一个极值点，其中， （I）求与的关系式； （II）求的单调区间；
（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.
解：(I)，因为是函数的一个极值点,
所以,即，所以
（II）由（I）知，=
当时，有，当变化时，与的变化如下表：
1
0 0
调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
故由上表知，当时，在单调递减，
在单调递增，在上单调递减.
（III）由已知得，即
又所以即①
设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以解之得又
所以 即的取值范围为
17．（本小题满分16分）(理)已知函数f(x)＝ln(x+1)－x．
⑴求函数f(x)的单调递减区间； ⑵若，证明：．
(文) 已知f(x)＝ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求a的取值范围.
解：⑴函数f(x)的定义域为．＝－1＝－。
由<0及x>－1，得x>0．
∴ 当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．
⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，
因此，当时，≤，即≤0 ∴ ．
令， 则＝．
∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．
∴ 当时，≥，即 ≥0，∴ ．
综上可知，当时，有．
(文)解：函数f(x)的导数：
（Ⅰ）当（）时，是减函数.
所以，当是减函数；
（II）当时，=
由函数在R上的单调性，可知当时，）是减函数；
（Ⅲ）当时，在R上存在一个区间，其上有
所以，当时，函数不是减函数.
综上，所求的取值范围是（
18．(本小题满分16分) 已知a为实数，。
⑴求导数； ⑵若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值；
⑶若在(－∞，－2]和[2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围。
解：⑴由原式得： ∴
⑵由 得, 此时有.
由得或x=-1 , 又
所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为
⑶解法一：的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得
即 ∴－2≤a≤2。 所以a的取值范围为[－2,2].
解法二：令 即 由求根公式得:
所以在和上非负.
由题意可知,当x≤-2或x≥2时, ≥0,
从而x1≥-2, x2≤2,
即 解不等式组得－2≤a≤2. ∴a的取值范围是[－2,2].
19．(本小题满分16分) 已知函数在处取得极值。
⑴讨论和是函数的极大值还是极小值；
⑵过点作曲线的切线，求此切线方程。
解：⑴，依题意，，即
解得。
∴。
令，得。
若，则，
故 在上是增函数， 在上是增函数。
若，则， 故在上是减函数。
所以，是极大值；是极小值。
⑵曲线方程为，点不在曲线上。
设切点为，则点M的坐标满足。
因，故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
化简得，解得。
所以，切点为，切线方程为。