第4课 定积分与微积分基本定理
【考点导读】
了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法。
了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理问题。
【基础练习】
1．下列等于1的积分是 （3） 。
（1） （2） （3） （4）
2.曲线与坐标轴围成的面积是 。
3．已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为 。
4．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为 0.18J 。
5． 1 , __ 。
【范例导析】
例1．计算下列定积分的值：
（1）；（2）；（3）；（4）；
分析：求函数在某一区间上的定积分，常用的方法有两种：一是利用定积分的几何意义，转化为曲边梯形的面积来处理；二是应用微积分基本定理，关键在于找到，使。
解：（1）
（2）因为，所以；
（3）
（4）
点评：除了题目有明确要求之外，在求定积分的两种方法中我们基本上选用微积分基本定理解决问题，避免每次都要进行“分割、以直代曲、作和、逼近”的操作，不过有时候我们不容易找到比较，这时候用定义或者其几何意义就显得方便了。
例2．利用定积分表示下列图形的面积：
分析：定积分的几何意义就是它的数值可以用曲边梯形的面积的代数和来表示。所以，我们可以用定积分来表示曲边梯形的面积。
解：（1）中阴影部分的面积为：；
（2）中阴影部分的面积为：；
（3）中阴影部分的面积为：。
点评：注意“代数和”的理解：若在曲间上则，若在曲间上则。如上面的（3）。
例3.求由曲线与，所围成的平面图形的面积(画出图形)。
解：如图所示，由，可得
曲线的交点的坐标为
所以所求面积为
点评：求图形面积的总体思路是：先求出图形，
根据图形求出交点坐标，将图形进行适当分割，
用定积分进行表示，从而求出所要的面积。
【反馈演练】
1．求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间［0，2］。
2．由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为 。
3．如果1N力能拉长弹簧1cm，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是 0.18 。
4．= 。
5．= 。
6．由抛物线、轴和直线所围成的图形绕轴旋转一周，得到的旋转体的体积是，那么 。
7．曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为 。
8．由及轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分表达为
9．按万有引力定律，两质点间的吸引力，ｋ为常数，为两质点的质量，ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点沿直线移动至离的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞a） 。
10．曲线及轴所围成的图形的面积是。
11．物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）。
解：.设A追上B时,所用的时间为，由题意有：
即， 所以
所以， 所以
所以 。
12．抛物线在第一象限内与直线相切．此抛物线与轴所围成的图形的面积记为．求使达到最大值的值，并求的最大值。
解：由题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为，
所以(1)
又直线与抛物线相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组得：
，其判别式，即．
于是代入（1）式得：
，；
令S'(b)=0；在b＞0时得b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．
故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，
即a=－1，b=3时，S取得最大值，且．
点评：本题将导数与定积分有机的结合起来，考查了学生分析问题、解决问题的综合能力。
（1）
（2）
（3）
2第2课 导数的应用（1）
【考点导读】
通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单调性；会求某些简单函数的单调区间。
结合函数的图象，了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求简单多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上的最大（小）值。
【基础练习】
1．若函数是上的单调函数，则应满足的条件是 。
2．函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是 5，－15 。
3．用导数确定函数的单调减区间是。
4．函数的最大值是，最小值是。
5．函数的单调递增区间是 (-∞,-2)与(0,+ ∞) 。
【范例导析】
例1．（1）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）0，比较f（0）＋f（2）与2f（1）的大小： f（0）＋f（2） 2f（1） 。
（2）在区间上的最大值是 2 。
解：（1）由题意得：当x1时，f（x）0，所以函数f（x）在（1，＋）上是增函数；
当x1时，f（x）0，所以f（x）在（－，1）上是减函数，
故f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1）；
（2）当－1x0时，0，当0x1时，0，
所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。
点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数。
例2． 求下列函数单调区间：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）∵ ∴时
∴ ，
（2） ∴ ，
（3） ∴ ，
∴ ， ，
（4） 定义域为
点评：熟练掌握单调性的求法，函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。
例3．设函数f(x)= （Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。
解：由已知得，令，解得 。
（Ⅰ）当时，，在上单调递增；
当时，，随的变化情况如下表：
0
+ 0 0
极大值 极小值
从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，函数没有极值；
当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
备用题．1．求证下列不等式：（1）
（2） （3）
证明：（1）设， 则 ，
又 ∴ 为上
∴ 恒成立 ∴
设
又∴ 在上
∴ 恒成立
∴
（2）原式 令
∴ ∴
∴
（3）令
∴
∴
点评：构造函数证明不等式主要是利用函数的最大（小）值来解决。
2．已知，函数设，记曲线在点处的切线为。（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，证明：①②若，则
解：（1）的导数，由此得切线的方程：，
（2）依题得，切线方程中令，得
，其中，
（ⅰ）由，，有，及，
∴，当且仅当时，。
（ⅱ）当时，，因此，，且由（ⅰ），，
所以。
【反馈演练】
1．关于函数，下列说法不正确的是 （4） 。
（1）在区间（，0）内，为增函数 （2）在区间（0，2）内，为减函数
（3）在区间（2，）内，为增函数 （4）在区间（，0）内，为增函数
2．对任意x，有，，则此函数为 。
3．函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 5 , -15 。
4． f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令，则下
列关于函数g（）的叙述正确的是 （2） 。
（1）若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.
（2）若a=－1，－2（3）若a≠0,b=2,则方程g（）=0有两个实根.
（4）若a≥1,b<2,则方程g（）=0有三个实根.
5．下列函数中，是极值点的函数是 （2） 。
（1） （2） （3） （4）
6．下列说法正确的是 （4） 。
（1）函数的极大值就是函数的最大值 （2）函数的极小值就是函数的最小值
（3）函数的最值一定是极值 （4）在闭区间上的连续函数一定存在最值
7．函数的单调减区间是 [0，2] 。
8．若函数在内是减函数，在内是增函数，则 2 。
9．函数的极大值是，极小值是。
10．求证：方程在区间内有且仅有一个实根。
分析：本题直接求方程的根是不可能的，从图象上可以进行判断，但是图象用在证明中是不妥当的，我们可以借助函数的单调性来解决这个问题。
证明：令， 则
当时，， 所以在
又
∴ 在内与轴有且仅有一个交点
∴ 方程 在内仅有一解
点评：本题通过判断函数的单调性来判断方程的零点的个数，这也是导数在函数中的灵活运用。
11．求满足条件的的范围：（1）使为上增函数；
（2）使为上的增函数；（3）使为上的增函数。
解：（1）∵ 由题意可知：对都成立 ∴
又当时 也符合条件 ∴
（2）同上
（3）同上
12．已知函数(x>0)在x = 1处取得极值，其中为常数。
（1）试确定的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。
解：（I）由题意知，因此，从而．
又对求导得．
由题意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，
要使（）恒成立，只需．
即，从而，
解得或．
所以的取值范围为．本章自主检测
一．填空题
1．在导数定义中，自变量x的增量△x与0的大小关系是 不等于0 。（填大于0、小于0、等于0或不等于0）
2．已知函数y= f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则= 2f ′(x0) 。
3．抛物线y= x2上点M(，)的切线倾斜角是 45° 。
4．曲线y＝x3－3x＋1在点（1，－1）处的切线方程为 y＝－1 。
5． 函数已知时取得极值，则= 5 。
6．设则。
7．函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 3，-17 .
8．若曲线y=h(x)在点P(a, h(a))处的切线方程为2x+y+1=0，则与0的大小关系是 0。
9．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是2x－y+4=0。
10．在曲线y=x3+3x2+6x－10的切线斜率中斜率最小的切线方程是 3x－y－11＝0 。
11．某物体做直线运动，其运动规律是s=t2+( t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为.
12．若函数恰有3个单调区间，则的取值范围是。
13．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式为。
14．（理科）（1）设函数。若是奇函数，则。
（2）由与轴围成的介于0与之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为。
（文科）（1）函数的最大值是。
（2）已知函数的导函数是，且的图象过点，当函数取得极大值时， 0 。
二、解答题：本大题共5小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分） 已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
解： 由题意得：
∴
的图象是开口向下的抛物线，
16．（本小题满分14分）已知是函数的一个极值点，其中， （I）求与的关系式； （II）求的单调区间；
（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.
解：(I)，因为是函数的一个极值点,
所以,即，所以
（II）由（I）知，=
当时，有，当变化时，与的变化如下表：
1
0 0
调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
故由上表知，当时，在单调递减，
在单调递增，在上单调递减.
（III）由已知得，即
又所以即①
设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以解之得又
所以 即的取值范围为
17．（本小题满分16分）(理)已知函数f(x)＝ln(x+1)－x．
⑴求函数f(x)的单调递减区间； ⑵若，证明：．
(文) 已知f(x)＝ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求a的取值范围.
解：⑴函数f(x)的定义域为．＝－1＝－。
由<0及x>－1，得x>0．
∴ 当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．
⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，
因此，当时，≤，即≤0 ∴ ．
令， 则＝．
∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．
∴ 当时，≥，即 ≥0，∴ ．
综上可知，当时，有．
(文)解：函数f(x)的导数：
（Ⅰ）当（）时，是减函数.
所以，当是减函数；
（II）当时，=
由函数在R上的单调性，可知当时，）是减函数；
（Ⅲ）当时，在R上存在一个区间，其上有
所以，当时，函数不是减函数.
综上，所求的取值范围是（
18．(本小题满分16分) 已知a为实数，。
⑴求导数； ⑵若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值；
⑶若在(－∞，－2]和[2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围。
解：⑴由原式得： ∴
⑵由 得, 此时有.
由得或x=-1 , 又
所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为
⑶解法一：的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得
即 ∴－2≤a≤2。 所以a的取值范围为[－2,2].
解法二：令 即 由求根公式得:
所以在和上非负.
由题意可知,当x≤-2或x≥2时, ≥0,
从而x1≥-2, x2≤2,
即 解不等式组得－2≤a≤2. ∴a的取值范围是[－2,2].
19．(本小题满分16分) 已知函数在处取得极值。
⑴讨论和是函数的极大值还是极小值；
⑵过点作曲线的切线，求此切线方程。
解：⑴，依题意，，即
解得。
∴。
令，得。
若，则，
故 在上是增函数， 在上是增函数。
若，则， 故在上是减函数。
所以，是极大值；是极小值。
⑵曲线方程为，点不在曲线上。
设切点为，则点M的坐标满足。
因，故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
化简得，解得。
所以，切点为，切线方程为。第十二章 导数及其应用
【知识图解】
【方法点拨】
导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。
1．重视导数的实际背景。导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。
2．深刻理解导数概念。概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。在理解定义时，要注意“函数在点处的导数”与“函数在开区间内的导数”之间的区别与联系。
3．强化导数在函数问题中的应用意识。导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。
4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。
5．加强“导数”的实践应用。导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。
6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。
平均速度
瞬时速度
平均变化率
瞬时变化率
割线斜率
切线斜率
导 数
基本初等函数导数公式、导数运算法则
微积分基本定理
导数和函数单调性的关系导数与极（最）值的关系
定积分（理科）
曲边梯形的面积
定积分在几何、物理中的简单应用
变速直线运动的路程第3课 导数的应用（2）
【考点导读】
深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用，加强导数的应用意识。
利用导数解决实际生活中的一些问题，进一步加深对导数本质的理解，逐步提高分析问题、探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。
【基础练习】
1．若是在内的可导的偶函数，且不恒为零，则关于下列说法正确的是（4） 。
（1）必定是内的偶函数 （2）必定是内的奇函数
（3）必定是内的非奇非偶函数 （4）可能是奇函数，也可能是偶函数
2．是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（4） 。
（1） （2） （3） （4）
3．若，曲线与直线在上的不同交点的个数有 至多1个 。
4．把长为的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，则长为 ，宽为 。
5．在边长为的正方形的四角切去边长相等的小正方形，在把它的边沿虚线折起，作成一个无盖的方底铁皮箱，当箱底边长为时，箱子容积最大，最大值为。
【范例导析】
例1．函数，过曲线上的点的切线方程为
（1）若在时有极值，求f (x)的表达式；
（2）在（1）的条件下，求在上最大值；
（3）若函数在区间上单调递增，求b的取值范围
解：（1）
（2）
x －2
+ 0 － 0 +
极大 极小
上最大值为13
（3）上单调递增
又
依题意上恒成立.
①在
②在
③在
综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0。
点评：本题把导数的几何意义与单调性、极值和最值结合起来，属于函数的综合应用题。
例2．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设的长度会比较简便。
解：设,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）。
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：
。
帐篷的体积为（单位：m3）：
求导数，得；
令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。
当1所以当x=2时,V(x)最大。
答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。
点评：本题是结合空间几何体的体积求最值，加深理解导数的工具作用，主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
例3．设函数分别在处取得极小值、极大值。在平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点。求： (I)求点的坐标； (II)求动点的轨迹方程.
解： (Ⅰ)令解得；
当时,， 当时,，当时，。
所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,
又。
所以, 点A、B的坐标为。
（Ⅱ） 设，，
，
又，所以。
又PQ的中点在上，所以，
消去得。
点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。
备用题1．已知函数f(x)=x+ x，数列的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）。
求证：当n时，(Ⅰ)x（Ⅱ）。
证明：（I）因为
所以曲线在处的切线斜率
因为过和两点的直线斜率是所以.
（II）因为函数在时单调递增，
而，
所以，即因此
又因为 令则
因为所以
因此 故
点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。
备用题2．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
解：（1）函数的导数；．
曲线在点处的切线方程为：，即 ．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使．
若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．
记 ，则 ．
当变化时，变化情况如下表：
0
0 0
极大值 极小值
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即 ．
【反馈演练】
1．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 图4 。
2．已知对任意实数，有，且时，，则时，与0的大小关系是 。
3．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为 。
4．若，则下列命题正确的是 （3） .
（1） （2） （3） (4)
5．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是 （3） .
(1)0是的极大值，也是的极大值 (2)0是的极小值，也是的极小值
（3）0是的极大值，但不是的极值 （4）0是的极小值，但不是的极值
6．函数的单调递增区间是．
7．在半径为的圆内，作内接等腰三角形，当它的面积最大时，底边上高为。
8．设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且则不等式的解集为。
9．已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．
解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，
所以
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是， 知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得
当
当
故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数．
点评：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
10．如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积的最大值．
解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），
则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，
解得
所以
，其定义域为．
（II）记， 则．
令，得．
因为当时，；当时，，
所以在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，
所以是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为．
即梯形面积的最大值为．
11．设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ），
当时，取最小值，即．
（Ⅱ）令，
由得，（不合题意，舍去）．
当变化时，的变化情况如下表：
递增 极大值 递减
在内有最大值．
在内恒成立等价于在内恒成立，
即等价于，所以的取值范围为．
点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．
12．设函数
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
解：（Ⅰ），依题意有，故．
从而．的定义域为，
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）的定义域为，．
方程的判别式．
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．
（ⅱ）若，则或．
若，，．
当时，，当时，，所以无极值．
若，，，也无极值．
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根
，．
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，
由根值判别式方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
的极值之和为：
。
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
图1
图2
图3
图4第1课 导数的概念及运算
【考点导读】
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；
2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;
3.熟记基本导数公式；
4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;
5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科）
【基础练习】
1．设函数f（x）在x=x0处可导,则与x0,h的关系是 仅与x0有关而与h无关 。
2．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是 1，2，4秒末。
3．已知, 则 0 。
4．已知,则当时,。
5．（1）已知,则。
（2）（理科）设函数，则′＝。
6．已知两曲线和都经过点P（1,2），且在点P处有公切线，试求a,b,c值。
解：因为点P（1,2）在曲线上，
函数和的导数分别为和，且在点P处有公切数
，得b=2
又由，得
【范例导析】
例1． 电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。从时刻开始的秒内，通过导体的电量（单位：库仑）可由公式表示。
求第5秒内时的电流强度；
什么时刻电流强度达到63安培（即库仑/秒）？
分析：为了求得各时刻的电流强度，类似求瞬时速度一样，先求平均电流强度，然后再用平均电流强度逼近瞬时电流强度。
解：（1）从时刻到时刻通过导体的这一横截面的电量为：
则这段时间内平均电流强度为 当
当时，则（安培）。
（2）令，得（秒）。
答：（1）第5秒时电流强度为23安培；（2）第15秒时电流强度为63安培。
点评：导数的实际背景丰富多彩，本题从另一个侧面深化对导数概念的理解。
例2．下列函数的导数：
① ② ③
分析：利用导数的四则运算求导数。
解：①法一：
∴
法二：=+
②
∴
③e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）2e－xcosx,
点评：利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算，是高考对导数考查的基本要求。
例3． 如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程．
分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线在给定点处的切线的斜率，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。
解：切线与直线平行， 斜率为4
又切线在点的斜率为
∵ ∴
∴ 或
∴切点为（1，-8）或（-1，-12）
切线方程为或即或
点评：函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联系，利用导数能解决许多曲线的切线问题，其中寻找切点是很关键的地方。
变题：求曲线的过点的切线方程。
答案：
点评：本题中“过点的切线”与“在点的切线”的含义是不同的，后者是以为切点，只有一条切线，而前者不一定以为切点，切线也不一定只有一条，所以要先设切点，然后求出切点坐标，再解决问题。
备用题：证明：过抛物线y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1证明：y′=2ax－a（x1+x2），
y′|=a（x1－x2），即kA=a（x1－x2），
y′|=a（x2－x1），即kB=a（x2－x1）.
设两条切线与x轴所成的锐角为、β，
则tan=|kA|=|a（x1－x2）|， tanβ=|kB|=|a（x2－x1）|，故tan=tanβ.
又、β是锐角，所以=β。
【反馈演练】
1．一物体做直线运动的方程为，的单位是的单位是，该物体在3秒末的瞬时速度是。
2．设生产个单位产品的总成本函数是，则生产8个单位产品时，边际成本是 2 。
3．已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为 （1） 。
（1）f（x）=（x－1）2+3（x－1） （2）f（x）=2（x－1）
（3）f（x）=2（x－1）2 （4）f（x）=x－1
4．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为。
5．在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 3 。
6 设是可导函数，且 －1 。
7．函数在处的导数值为 100! 。
8．过点（0，－4）与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是 y＝4x－4 ．
9．设f（x）在x=1处连续，且f（1）=0,=2,则 __2_____。
解：∵f（1）=0, =2,
∴f′（1）= = ==2
10． 求下列函数的导数：
(1)y=(2x2-1)(3x+1) (2) (3)
(4) (5) (6)
解：（１）, (2);
(3), (4);
(5), (6).
11．已知曲线C：
（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程；
（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。
解：（1）切线方程为，即
（2）除切点外，还有两个交点。
12 ( http: / / www. / ) 已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求由直线，和轴所围成的三角形的面积 ( http: / / www. / )
解： 设直线的斜率为，直线的斜率为，
，由题意得,得直线的方程为
,
与该曲线的切点坐标为由直线方程的点斜式得直线的方程为： ( http: / / www. / )
（Ⅱ）由直线的方程为,令
由直线的方程为，令
由得：
设由直线，和轴所围成的三角形的面积为S，则：
