考前最后一轮基础知识巩固之第十二章 第1课 导数的概念及运算

第1课　导数的概念及运算
【考点导读】
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；
2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;
3.熟记基本导数公式；
4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;
5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科）
【基础练习】
1．设函数f（x）在x=x0处可导,则与x0,h的关系是 仅与x0有关而与h无关 。
2．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是 1，2，4秒末。
3．已知, 则 0 。
4．已知,则当时,。
5．（1）已知,则。
（2）（理科）设函数，则′＝。
6．已知两曲线和都经过点P（1,2），且在点P处有公切线，试求a,b,c值。
解：因为点P（1,2）在曲线上，
函数和的导数分别为和，且在点P处有公切数
，得b=2
又由，得
【范例导析】
例1． 电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。从时刻开始的秒内，通过导体的电量（单位：库仑）可由公式表示。
求第5秒内时的电流强度；
什么时刻电流强度达到63安培（即库仑/秒）？
分析：为了求得各时刻的电流强度，类似求瞬时速度一样，先求平均电流强度，然后再用平均电流强度逼近瞬时电流强度。
解：（1）从时刻到时刻通过导体的这一横截面的电量为：
则这段时间内平均电流强度为 当
当时，则（安培）。
（2）令，得（秒）。
答：（1）第5秒时电流强度为23安培；（2）第15秒时电流强度为63安培。
点评：导数的实际背景丰富多彩，本题从另一个侧面深化对导数概念的理解。
例2．下列函数的导数：
① ② ③
分析：利用导数的四则运算求导数。
解：①法一：
∴
法二：=+
②
∴
③e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）2e－xcosx,
点评：利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算，是高考对导数考查的基本要求。
例3． 如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程．
分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线在给定点处的切线的斜率，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。
解：切线与直线平行， 斜率为4
又切线在点的斜率为
∵ ∴
∴ 或
∴切点为（1，-8）或（-1，-12）
切线方程为或即或
点评：函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联系，利用导数能解决许多曲线的切线问题，其中寻找切点是很关键的地方。
变题：求曲线的过点的切线方程。
答案：
点评：本题中“过点的切线”与“在点的切线”的含义是不同的，后者是以为切点，只有一条切线，而前者不一定以为切点，切线也不一定只有一条，所以要先设切点，然后求出切点坐标，再解决问题。
备用题：证明：过抛物线y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1证明：y′=2ax－a（x1+x2），
y′|=a（x1－x2），即kA=a（x1－x2），
y′|=a（x2－x1），即kB=a（x2－x1）.
设两条切线与x轴所成的锐角为、β，
则tan=|kA|=|a（x1－x2）|， tanβ=|kB|=|a（x2－x1）|，故tan=tanβ.
又、β是锐角，所以=β。
【反馈演练】
1．一物体做直线运动的方程为，的单位是的单位是，该物体在3秒末的瞬时速度是。
2．设生产个单位产品的总成本函数是，则生产8个单位产品时，边际成本是 2 。
3．已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为 （1） 。
（1）f（x）=（x－1）2+3（x－1） （2）f（x）=2（x－1）
（3）f（x）=2（x－1）2 （4）f（x）=x－1
4．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为。
5．在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 3 。
6 设是可导函数，且 －1 。
7．函数在处的导数值为 100! 。
8．过点（0，－4）与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是 y＝4x－4 ．
9．设f（x）在x=1处连续，且f（1）=0,=2,则 __2_____。
解：∵f（1）=0, =2,
∴f′（1）= = ==2
10． 求下列函数的导数：
(1)y=(2x2-1)(3x+1) (2) (3)
(4) (5) (6)
解：（１）, (2);
(3), (4);
(5), (6).
11．已知曲线C：
（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程；
（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。
解：（1）切线方程为，即
（2）除切点外，还有两个交点。
12 ( http: / / www. / ) 已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求由直线，和轴所围成的三角形的面积 ( http: / / www. / )
解： 设直线的斜率为，直线的斜率为，
，由题意得,得直线的方程为
,
与该曲线的切点坐标为由直线方程的点斜式得直线的方程为： ( http: / / www. / )
（Ⅱ）由直线的方程为,令
由直线的方程为，令
由得：
设由直线，和轴所围成的三角形的面积为S，则：