考前最后一轮基础知识巩固之第十二章 第2课 导数的应用（1）

第2课　导数的应用（1）
【考点导读】
通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单调性；会求某些简单函数的单调区间。
结合函数的图象，了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求简单多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上的最大（小）值。
【基础练习】
1．若函数是上的单调函数，则应满足的条件是 。
2．函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是 5，－15 。
3．用导数确定函数的单调减区间是。
4．函数的最大值是，最小值是。
5．函数的单调递增区间是 (-∞,-2)与(0,+ ∞) 。
【范例导析】
例1．（1）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）0，比较f（0）＋f（2）与2f（1）的大小： f（0）＋f（2） 2f（1） 。
（2）在区间上的最大值是 2 。
解：（1）由题意得：当x1时，f（x）0，所以函数f（x）在（1，＋）上是增函数；
当x1时，f（x）0，所以f（x）在（－，1）上是减函数，
故f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1）；
（2）当－1x0时，0，当0x1时，0，
所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。
点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数。
例2． 求下列函数单调区间：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）∵ ∴时
　　　 ∴ ，
（2） ∴ ，
（3） ∴ ，
∴ ， ，
（4） 定义域为
点评：熟练掌握单调性的求法，函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。
例3．设函数f(x)= （Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。
解：由已知得，令，解得 。
（Ⅰ）当时，，在上单调递增；
当时，，随的变化情况如下表：
0
+ 0 0
极大值 极小值
从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，函数没有极值；
当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
备用题．1．求证下列不等式：（1）
（2） （3）
证明：（1）设， 则 ，
又 ∴ 为上
∴ 恒成立 ∴
设
又∴ 在上
∴ 恒成立
∴
（2）原式 令
∴ ∴
∴
（3）令
∴
∴
点评：构造函数证明不等式主要是利用函数的最大（小）值来解决。
2．已知，函数设，记曲线在点处的切线为。（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，证明：①②若，则
解：（1）的导数，由此得切线的方程：，
（2）依题得，切线方程中令，得
，其中，
（ⅰ）由，，有，及，
∴，当且仅当时，。
（ⅱ）当时，，因此，，且由（ⅰ），，
所以。
【反馈演练】
1．关于函数，下列说法不正确的是 （4） 。
（1）在区间（，0）内，为增函数 （2）在区间（0，2）内，为减函数
（3）在区间（2，）内，为增函数 （4）在区间（，0）内，为增函数
2．对任意x，有，，则此函数为 。
3．函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 5 , -15 。
4． f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令，则下
列关于函数g（）的叙述正确的是 （2） 。
（1）若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.
（2）若a=－1，－2（3）若a≠0,b=2,则方程g（）=0有两个实根.
（4）若a≥1,b<2,则方程g（）=0有三个实根.
5．下列函数中，是极值点的函数是 （2） 。
（1） （2） （3） （4）
6．下列说法正确的是 （4） 。
（1）函数的极大值就是函数的最大值 （2）函数的极小值就是函数的最小值
（3）函数的最值一定是极值 （4）在闭区间上的连续函数一定存在最值
7．函数的单调减区间是 [0，2] 。
8．若函数在内是减函数，在内是增函数，则 2 。
9．函数的极大值是，极小值是。
10．求证：方程在区间内有且仅有一个实根。
分析：本题直接求方程的根是不可能的，从图象上可以进行判断，但是图象用在证明中是不妥当的，我们可以借助函数的单调性来解决这个问题。
证明：令， 则
当时，， 所以在
又
∴ 在内与轴有且仅有一个交点
∴ 方程 在内仅有一解
点评：本题通过判断函数的单调性来判断方程的零点的个数，这也是导数在函数中的灵活运用。
11．求满足条件的的范围：（1）使为上增函数；
（2）使为上的增函数；（3）使为上的增函数。
解：（1）∵ 由题意可知：对都成立 ∴
又当时 也符合条件 ∴
（2）同上
（3）同上
12．已知函数(x>0)在x = 1处取得极值，其中为常数。
（1）试确定的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。
解：（I）由题意知，因此，从而．
又对求导得．
由题意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，
要使（）恒成立，只需．
即，从而，
解得或．
所以的取值范围为．