考前最后一轮基础知识巩固之第十二章 第3课 导数的应用（2）

第3课　导数的应用（2）
【考点导读】
深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用，加强导数的应用意识。
利用导数解决实际生活中的一些问题，进一步加深对导数本质的理解，逐步提高分析问题、探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。
【基础练习】
1．若是在内的可导的偶函数，且不恒为零，则关于下列说法正确的是（4） 。
（1）必定是内的偶函数 （2）必定是内的奇函数
（3）必定是内的非奇非偶函数 （4）可能是奇函数，也可能是偶函数
2．是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（4） 。
（1） （2） （3） （4）
3．若，曲线与直线在上的不同交点的个数有 至多1个 。
4．把长为的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，则长为 ，宽为 。
5．在边长为的正方形的四角切去边长相等的小正方形，在把它的边沿虚线折起，作成一个无盖的方底铁皮箱，当箱底边长为时，箱子容积最大，最大值为。
【范例导析】
例1．函数，过曲线上的点的切线方程为
（1）若在时有极值，求f (x)的表达式；
（2）在（1）的条件下，求在上最大值；
（3）若函数在区间上单调递增，求b的取值范围
解：（1）
（2）
x －2
+ 0 － 0 +
极大 极小
上最大值为13
（3）上单调递增
又
依题意上恒成立.
①在
②在
③在
综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0。
点评：本题把导数的几何意义与单调性、极值和最值结合起来，属于函数的综合应用题。
例2．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设的长度会比较简便。
解：设,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）。
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：
。
帐篷的体积为（单位：m3）：
求导数，得；
令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。
当1所以当x=2时,V(x)最大。
答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。
点评：本题是结合空间几何体的体积求最值，加深理解导数的工具作用，主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
例3．设函数分别在处取得极小值、极大值。在平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点。求： (I)求点的坐标； (II)求动点的轨迹方程.
解： (Ⅰ)令解得；
当时,， 当时,，当时，。
所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,
又。
所以, 点A、B的坐标为。
（Ⅱ） 设，，
，
又，所以。
又PQ的中点在上，所以，
消去得。
点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。
备用题1．已知函数f(x)=x+ x，数列的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）。
求证：当n时，(Ⅰ)x（Ⅱ）。
证明：（I）因为
所以曲线在处的切线斜率
因为过和两点的直线斜率是所以.
（II）因为函数在时单调递增，
而，
所以，即因此
又因为 令则
因为所以
因此 故
点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。
备用题2．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
解：（1）函数的导数；．
曲线在点处的切线方程为：，即 ．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使．
若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．
记 ，则 ．
当变化时，变化情况如下表：
0
0 0
极大值 极小值
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即 ．
【反馈演练】
1．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 图4 。
2．已知对任意实数，有，且时，，则时，与0的大小关系是 。
3．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为 。
4．若，则下列命题正确的是 （3） .
（1） （2） （3） (4)
5．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是 （3） .
(1)0是的极大值，也是的极大值 (2)0是的极小值，也是的极小值
（3）0是的极大值，但不是的极值 （4）0是的极小值，但不是的极值
6．函数的单调递增区间是．
7．在半径为的圆内，作内接等腰三角形，当它的面积最大时，底边上高为。
8．设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且则不等式的解集为。
9．已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．
解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，
所以
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是， 知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得
当
当
故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数．
点评：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
10．如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积的最大值．
解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），
则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，
解得
所以
　，其定义域为．
（II）记， 则．
令，得．
因为当时，；当时，，
所以在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，
所以是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为．
即梯形面积的最大值为．
11．设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ），
当时，取最小值，即．
（Ⅱ）令，
由得，（不合题意，舍去）．
当变化时，的变化情况如下表：
递增 极大值 递减
在内有最大值．
在内恒成立等价于在内恒成立，
即等价于，所以的取值范围为．
点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．
12．设函数
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
解：（Ⅰ），依题意有，故．
从而．的定义域为，
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）的定义域为，．
方程的判别式．
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．
（ⅱ）若，则或．
若，，．
当时，，当时，，所以无极值．
若，，，也无极值．
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根
，．
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，
由根值判别式方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
的极值之和为：
。
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
图1
图2
图3
图4