第4课 不等式综合
【考点导读】
能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等.
【基础练习】
1.若函数，则与的大小关系是
2.函数在区间上恒为正，则的取值范围是0＜a＜2
3.当点在直线上移动时，的最小值是7
4.已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(，)，则f(x)·g(x)＞0的解集是
5.对于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，则x的取值范围是x＞3或x＜－1
【范例导析】
例1、已知集合，函数的定义域为Q
（1）若，求实数a的取值范围。
（2）若方程在内有解，求实数a的取值范围。
分析：问题（1）可转化为在内有有解；从而和问题（2）是同一类型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数.
解：（1）若，在内有有解
令
当时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
（2）方程在内有解
则在内有解
当时，
所以时，在内有解
点拨：本题用的是参数分离的思想
例2.已知f(x)是定义在[—1，1]上的奇函数，且f (1)=1，若m、n∈[—1，1]，m+n≠0时有
（1）判断f (x)在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式:；
（3）若f (x)≤对所有x∈[—1，1]，∈[—1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
分析：可利用定义法判断单调性，再利用单调性解决问题（2），问题（3）只要f (x)max≤
解：(1)任取—1≤x1
f (x1)—f (x2)= f (x1)+f (－x2)=
∵—1≤x1由已知＞0，又x1－x2＜0，
∴f (x1)—f (x2)＜0，即f (x)在[—1，1]上为增函数．
（2）∵f (x)在[—1，1]上为增函数，故有
（3）由(1)可知：f（x）在[—1，1]上是增函数，且f (1)=1，故对x∈[—l，1]，
恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤，对所有x∈[—1，1]， ∈[—1，1]恒成立，
即要≥1成立，故≥0成立．
记g()=对 ∈[—1，1]，g()≥0恒成立，只需g()在[—1，1]上的最小值
大于等于零．
故
解得：t≤—2或t=0．
点拨：一般地，若与若分别存在最大值和最小值，则恒成立等价于.
例3.甲、乙两地相距，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度的平方成正比，且比例系数为；固定部分为元．
（1）把全程运输成本元表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解
解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为
．
故所求函数为，定义域为．
（2）由于都为正数，
故有，
即．
当且仅当，即时上式中等号成立．
若时，则时，全程运输成本最小；
当，易证，函数单调递减，即时，．
综上可知，为使全程运输成本最小，
在时，行驶速度应为；
在时，行驶速度应为．
点拨：本题主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．
反馈练习：
1.设，函数，则使的的取值范围是
2.一个直角三角形的周长为2P，其斜边长的最小值
3.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是
4.如果函数的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是____ a<-1____
5.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为
6.设实数m,n,x,y满足的最大值
7．已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是［－2，2］
8.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式都成立的x的取值范围
9..三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 a≤10
10.设曲线在点处的切线斜率为，且,对一切实数，不等式恒成立（）.
(1) 求的值； (2) 求函数的表达式.
解：（1）设， ,
,
(2)解：
, ，
又， 即
11.已知二次函数f (x)=,设方程f (x)=x的两个实根为x1和x2．
（1）如果x1<2＜x2<4，且函数f (x)的对称轴为x=x0，求证：x0＞—1；
（2）如果∣x1∣<2，∣x2—x1∣=2，求的取值范围．
解：(1)设g(x)= f (x)—x=，且g(4)>0，即
∴
（2）由g(x)=．
①若02，∴g(2)=4a+2b—1<0，
又，代入上式得
②若-2故当012.已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为v km/h(8分析：本题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间体现了分类讨论这一重要的数学思想，本题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中要重视。
解：设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则
当v=12时，y1=720
得k=5
设全程燃料费为y，依题意有
当，即v=16时取等号
8所以当时，v=16时全程燃料费最省
当时，令
任取
则
即在上为减函数，当v=v0时，y取最小值
综合得：当时，v=16km/h，全程燃料费最省，32000为元，当时，当v=v0时，全程燃料费最省，为元。
另解：当时，令
上为减函数
以下相同
点拨：注意基本不等式应用条件和分类讨论；判断函数单调性用导数是很有效的方法第2课 一元二次不等式
【考点导读】
会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。
能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题.
【基础练习】
1.解不等式：
（1）解
（2）
（3）
（4）
解：（1）原不等式化为，解集为
（2）原不等式化为，解集为R
（3）原不等式化为，解集为
（4）由
得
点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程的判断、以及对应方程两根大小的比较.
2. 函数的定义域为
3..二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是
4.若不等式的解集是，则b=__-2____ c=__-3____.
5.关于的不等式的解集是空集，那么的取值区间是[0，4]
【范例导析】
【例1】已知关于x的不等式(m-2)x 2-mx-1≥0的解集为［x 1,x 2］且1≤|x1-x 2|≤3,求实数m的取值范围.
分析： a应满足三个条件：
①m-2<0,保证抛物线y=(m-2)x 2-mx-1开口向下,
②其判别式Δ≥0,?
③1≤|x1-x2|=≤3
解： 令y=(m-2)x 2-mx-1
则由≤m<2?
点拨：通过二次函数的图像特点，寻找m的满足的充要条件，是数学中“等价转化”思想的体现.
例2.设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论.
分析：抓住特殊状态寻找解题突破口.
解：由f(1)=得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+xx=－1，由f(x)≤2x2+2x+推得
f(－1)≤.
由f(x)≥x2+推得f(－1)≥，∴f(－1)=，∴a－b+c=，故
2(a+c)=5，a+c=且b=1，∴f(x)=ax2+x+(－a).
依题意：ax2+x+(－a)≥x2+对一切x∈R成立，
∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0，
∴f(x)=x2+x+1
易验证：x2+x+1≤2x2+2x+对x∈R都成立.
∴存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切x∈R都成立.
点拨：一元二次不等式恒成立的问题可以结合二次函数图像找出参数满足的条件.
【例3】解关于ｘ的不等式
分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论.
解:原不等式等价于∵∴等价于：
（*）
当a>１时，（*）式等价于>０∵<１∴x<或x>２
a<１时，（*）式等价于<０由２－＝知：
当０２，∴２当a<０时，<２，∴当a＝０时，当＝２，∴x∈φ
综上所述可知：当a<０时，原不等式的解集为（，２）；当a＝０时，原不等式的解集为φ；当０１时，原不等式的解集为（－∞，）∪（２，＋∞）。
思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.
反馈练习：
1.已知不等式①②③，若要使同时满足①
②的也满足③，则m的范围是
2.若，且，，则m、n、p、q的大小关系为
3.若关于x的不等式的解集为R，则的取值范围是
4.不等式解集为，则ab值分别为-12，-2
5.不等式有唯一解，则实数=
6.若函数f(x) = 的定义域为R，则的取值范围为
7.设均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，那么是M=N的既非充要又非必要（填充分非必要、必要非充分、充要条件、既非充要又非必要）
8.不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β}其中β＞α＞0，则不等式cx2+bx+a＜0的解集是
9.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是
10.已知M是关于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.
解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由适合不等式故得，所以，或.
若，则，∴，
此时不等式的解集是；
若，由，∴，
此时不等式的解集是。
11.解不等式：
分析：本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解：∵
解得方程 两根
∴当时,解集为
当时，不等式为,解集为
当时, 解集为
12.已知方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0，①是否存在实数m使方程有一正根和一负根，若存在求出m的值，若不存在请说明理由；②是否存在实数m使方程两根都大于1，若存在求出m的值，若不存在说明理由。
解 ：设方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根为、
①若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：
m<5.
∴此时m的取值范围是(-,5).
②错解：若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：
m∈(,6)
∴此时m的取值范围是(,6)，即原方程不可能两根都大于1.
正解：若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：
m∈φ.
∴此时m的取值范围是φ，即原方程不可能两根都大于1.
说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.本章测试
一．填空题
1．若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是6
2．不等式组的解集是{x|03.若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），则P＜Q＜R
4.不等式等于－10
5．设，函数，则使的的取值范围是
6．在直角坐标平面上，已知三角形ABC三个顶点的坐标为A（2,1）,B(-1,-2),C（3,-1）,则三角形ABC内部区域（包括三边）所表示的不等式组为
7.设关于x的方程的两个实根一个大于1，另一个小于1，则实数k的取值范围是
8. 函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为___8____.
9.当时，不等式恒成立，则的取值范围是
10.若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是ab≥9
11．已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为
12．汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g（即每小时的汽油耗油量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间有所示的函数关系：
“汽油的使用率最高”（即每千米汽油平均消耗量最小，单位：L/km），则汽油的使用率最高时，汽车速度是（km/h）
13.如果实数x、y满足(x－2)2+y2=3，那么的最大值是
14.已知两个正变量恒成立的实数m的取值范围是
二、解答题：
15. 解关于的不等式：
简解：原不等式可化为：
①当时，原不等式的解集为
②当时，原不等式的解集为
③当时，原不等式的解集为
16.老师给学生出了这样一道题：“已知两正数x,y 满足x+y=1,求z=的最小值．”
两个学生甲，乙的解法分别是：
甲解：因为对a>0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。
乙解：，所以z的最小值是。
请你分析他们谁解的对，为什么？如果都不对，请写出你的解题过程。
解：分析：甲解：等号成立的条件是相矛盾。
乙解：等号成立的条件是，与相矛盾。
因此两个同学的解答都是错误的。
正解：z===，令t=xy, 则，由在上单调递减,故当t=时 有最小值,所以当时z有最小值。
17.若，且，求证：．
证明：，又，，，
，即．
同理，，
．
当且仅当时，等号成立．
18.如图所示，从边长为a的正三角形的顶点，在各边上截取长度为x的线段，以这些线段为边做成有两个角是直角的四边形，这样的四边形有三个，把这三个四边形剪掉，用剩下的部分折成一个底为正三角形的无盖柱形容器，
（1）求这容器的容积V（x）
（2）求使V（x）为最大时的x的值及V（x）的最大值。
解：（1）柱形的高底面边长（a-2x），
底面积， 因此，
；
（2），
等号成立，当且仅当a-2x=4x，
即x=时，
19.设函数
（1）求函数的单调区间、极值。
（2）若当，恒有试确定的取值范围。
解：（1），令，得
由表
X (-∞,a) a (a,3a) 3a (3a,+∞)
F (x) - 0 + 0 -
F(x) ↘ -4/3a3+b ↗ b ↘
可知的单调增区间为，减区间为
时，极小值=；
时，极小值=
（2）由得，
而，
故 解得
所以的取值范围是
第18题不等式
【知识图解】
【方法点拨】
不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.
掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。
一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化。
线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。
不等式
一元二次不等式
基本不等式
二元一次不等式组
应用
解法
应用
几何意义
应用
证明第3课 线性规划
【考点导读】
会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域，能由给定的平面区域确定所对应的二元一次不等式、二元一次不等式组.
能利用图解法解决简单的线性规划问题，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数问题的思想.
【基础练习】
1.原点O和点P（1,1）在直线的两侧，则a的取值范围是02. 设集合，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( A )
A B C D
3.下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（ C ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4.由直线x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0围成的三角形区域（不含边界）用不等式表示为
5.在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为
【范例导析】
设x,y满足约束条件,求目标函数z=6x+10y的最大值，最小值。
分析：求目标函数的最值，必须先画出准确的可行域，然后把线性目标函数转化为一族平行直线，这样就把线性规划问题转化为一族平行直线与一平面区域有交点，直线在y轴上截距的最大值与最小值问题.
解：先作出可行域，如图所示中的区域，
且求得A(5,2),B(1,1),C(1,)
作出直线L0：6x+10y=0，再将直线L0平移
当L0的平行线过B点时，可使z=6x+10y达到最小值
当L0的平行线过A点时，可使z=6x+10y达到最大值
所以zmin=16;zmax=50
点拨：几个结论：
(1)、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。
（2）、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。
例2、已知，
求的最大和最小值。
求的取值范围。
（3）求的最大和最小值。
解析：注意目标函数是代表的几何意义.
解：作出可行域，图略。
（1），作一组平行线l：，解方程组得最优解B（3，1），。解得最优解C（7，9），
（2）表示可行域内的点（x,y）与（0，0）的连线的斜率。从图中可得，，又，。
（3）表示可行域内的点（x,y）到（0，0）的距离的平方。从图中易得，，（OF为O到直线AB的距离），。，，，。
点拨：关键要明确每一目标函数的几何意义，从而将目标函数的最值问题转化为某几何量的取值范围.
例3．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
分析：本例是线性规划的实际应用题，其解题步骤是：（1）设出变量，列出约束条件及目标函数；（2）画出可行域（3）观察平行直线系的运动，求出目标函数的最值.
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得
目标函数为．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：
作直线，
即．
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．
联立解得．
点的坐标为．
（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
点拨：用图解法解决线性规划应用题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键.
反馈练习：
1.不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是
2.已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是[－1，2]
3.以原点为圆心的圆全部在区域内，则圆的面积的最大值为
4.如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为
5.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为31.2万元
6.设、满足约束条件则使得目标函数的最大的点是（2,3）．
7.已知实数满足则的取值范围是
8.设实数x, y满足
9.已知点P（x,y）的坐标满足（O为坐标原点）的最大值为 5
10.画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值
分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值
解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域
直线AB的方程为x+2y－1=0，BC及CA的直线方程分别为x－y+2=0，2x+y－5=0
在△ABC内取一点P（1，1），
分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5
得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0
因此所求区域的不等式组为
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直线3x－2y=0的直线系3x－2y=t（t为参数），即平移直线y=x，观察图形可知：当直线y=x－t过A（3，－1）时，纵截距－t最小此时t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；当直线y=x－t经过点B（－1，1）时，纵截距－t最大，此时t有最小值为tmin= 3×（－1）－2×1=－5
因此，函数z=3x－2y在约束条件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值为11，最小值为－5
11..制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目。根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解析：设投资人分别用x万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知，化简得，总赢利。作出可行域（图略）。。解方程组得最优解A（4，6），。
答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的赢利最大。
12.某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h（4≤v≤20）从A港出发到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h（30≤w≤100）自B港向距300 km的C市驶去 ( http: / / www. / )应该在同一天下午4至9点到达C市设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h
（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；
（2）如果已知所需的经费p=100+3×（5－x）+2×（8－y）（元），
那么v、w分别是多少时走得最经济 此时需花费多少元
分析：由p=100+3×（5－x）+2×（8－y）可知影响花费的是3x+2y的取值范围
解：（1）依题意得v=，w=，4≤v≤20，30≤w≤100
∴3≤x≤10，≤y≤ ①
由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在
9至14个小时之间，
即9≤x+y≤14 ②
因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图
中阴影部分（包括边界）
（2）∵p=100+3·（5－x）+2·（8－y），
∴3x+2y=131－p
设131－p=k，那么当k最大时，p最小 ( http: / / www. / )在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小
此时，v=125，w=30，p的最小值为93元
点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式 ( http: / / www. / )然后分析要求量的几何意义
例1图
0
100
200
300
100
200
300
400
500
y
x
l
M
例3
第10题
3
9
10
14
x
O
2.5
9
14
y
第12题