考前最后一轮基础知识巩固之第六章 第2课 一元二次不等式

第2课　一元二次不等式
【考点导读】
会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。
能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题.
【基础练习】
1.解不等式：
（1）解
（2）
（3）
（4）
解：（1）原不等式化为，解集为
（2）原不等式化为，解集为R
（3）原不等式化为，解集为
（4）由
得
点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程的判断、以及对应方程两根大小的比较.
2. 函数的定义域为
3..二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是
4.若不等式的解集是，则b=__-2____ c=__-3____.
5.关于的不等式的解集是空集，那么的取值区间是[0，4]
【范例导析】
【例1】已知关于x的不等式(m-2)x 2-mx-1≥0的解集为［x 1,x 2］且1≤|x1-x 2|≤3,求实数m的取值范围.
分析： a应满足三个条件：
①m-2<0,保证抛物线y=(m-2)x 2-mx-1开口向下,
②其判别式Δ≥0,?
③1≤|x1-x2|=≤3
解： 令y=(m-2)x 2-mx-1
则由≤m<2?
点拨：通过二次函数的图像特点，寻找m的满足的充要条件，是数学中“等价转化”思想的体现.
例2.设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论.
分析：抓住特殊状态寻找解题突破口.
解：由f(1)=得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+xx=－1，由f(x)≤2x2+2x+推得
f(－1)≤.
由f(x)≥x2+推得f(－1)≥，∴f(－1)=，∴a－b+c=，故
2(a+c)=5，a+c=且b=1，∴f(x)=ax2+x+(－a).
依题意：ax2+x+(－a)≥x2+对一切x∈R成立，
∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0，
∴f(x)=x2+x+1
易验证：x2+x+1≤2x2+2x+对x∈R都成立.
∴存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切x∈R都成立.
点拨：一元二次不等式恒成立的问题可以结合二次函数图像找出参数满足的条件.
【例3】解关于ｘ的不等式
分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论.
解:原不等式等价于∵∴等价于：
（*）
当a>１时，（*）式等价于>０∵<１∴x<或x>２
a<１时，（*）式等价于<０由２－＝知：
当０２，∴２当a<０时，<２，∴当a＝０时，当＝２，∴x∈φ
综上所述可知：当a<０时，原不等式的解集为（，２）；当a＝０时，原不等式的解集为φ；当０１时，原不等式的解集为（－∞，）∪（２，＋∞）。
思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.
反馈练习：
1.已知不等式①②③，若要使同时满足①
②的也满足③，则m的范围是
2.若，且，，则m、n、p、q的大小关系为
3.若关于x的不等式的解集为R，则的取值范围是
4.不等式解集为，则ab值分别为-12，-2
5.不等式有唯一解，则实数=
6.若函数f(x) = 的定义域为R，则的取值范围为
7.设均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，那么是M=N的既非充要又非必要（填充分非必要、必要非充分、充要条件、既非充要又非必要）
8.不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β}其中β＞α＞0，则不等式cx2+bx+a＜0的解集是
9.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是
10.已知M是关于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.
解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由适合不等式故得，所以，或.
若，则，∴，
此时不等式的解集是；
若，由，∴，
此时不等式的解集是。
11.解不等式：
分析：本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解：∵
解得方程 两根
∴当时,解集为
当时，不等式为,解集为
当时, 解集为
12.已知方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0，①是否存在实数m使方程有一正根和一负根，若存在求出m的值，若不存在请说明理由；②是否存在实数m使方程两根都大于1，若存在求出m的值，若不存在说明理由。
解 ：设方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根为、
①若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：
m<5.
∴此时m的取值范围是(-,5).
②错解：若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：
m∈(,6)
∴此时m的取值范围是(,6)，即原方程不可能两根都大于1.
正解：若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：
m∈φ.
∴此时m的取值范围是φ，即原方程不可能两根都大于1.
说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.