考前最后一轮基础知识巩固之第六章 第3课 线性规划

第3课　线性规划
【考点导读】
会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域，能由给定的平面区域确定所对应的二元一次不等式、二元一次不等式组.
能利用图解法解决简单的线性规划问题，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数问题的思想.
【基础练习】
1.原点O和点P（1,1）在直线的两侧，则a的取值范围是02. 设集合，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( A )
A B C D
3.下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（　C　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4.由直线x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0围成的三角形区域（不含边界）用不等式表示为
5.在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为
【范例导析】
设x,y满足约束条件,求目标函数z=6x+10y的最大值，最小值。
分析：求目标函数的最值，必须先画出准确的可行域，然后把线性目标函数转化为一族平行直线，这样就把线性规划问题转化为一族平行直线与一平面区域有交点，直线在y轴上截距的最大值与最小值问题.
解：先作出可行域，如图所示中的区域，
且求得A(5,2),B(1,1),C(1,)
作出直线L0：6x+10y=0，再将直线L0平移
当L0的平行线过B点时，可使z=6x+10y达到最小值
当L0的平行线过A点时，可使z=6x+10y达到最大值
所以zmin=16;zmax=50
点拨：几个结论：
(1)、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。
（2）、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。
例2、已知，
求的最大和最小值。
求的取值范围。
（3）求的最大和最小值。
解析：注意目标函数是代表的几何意义.
解：作出可行域，图略。
（1），作一组平行线l：，解方程组得最优解B（3，1），。解得最优解C（7，9），
（2）表示可行域内的点（x,y）与（0，0）的连线的斜率。从图中可得，，又，。
（3）表示可行域内的点（x,y）到（0，0）的距离的平方。从图中易得，，（OF为O到直线AB的距离），。，，，。
点拨：关键要明确每一目标函数的几何意义，从而将目标函数的最值问题转化为某几何量的取值范围.
例3．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
分析：本例是线性规划的实际应用题，其解题步骤是：（1）设出变量，列出约束条件及目标函数；（2）画出可行域（3）观察平行直线系的运动，求出目标函数的最值.
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得
目标函数为．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：
作直线，
即．
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．
联立解得．
点的坐标为．
（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
点拨：用图解法解决线性规划应用题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键.
反馈练习：
1.不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是
2.已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是[－1，2]
3.以原点为圆心的圆全部在区域内，则圆的面积的最大值为
4.如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为
5.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为31.2万元
6.设、满足约束条件则使得目标函数的最大的点是（2,3）．
7.已知实数满足则的取值范围是
8.设实数x, y满足
9.已知点P（x,y）的坐标满足（O为坐标原点）的最大值为 5
10.画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值
分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值
解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域
直线AB的方程为x+2y－1=0，BC及CA的直线方程分别为x－y+2=0，2x+y－5=0
在△ABC内取一点P（1，1），
分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5
得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0
因此所求区域的不等式组为
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直线3x－2y=0的直线系3x－2y=t（t为参数），即平移直线y=x，观察图形可知：当直线y=x－t过A（3，－1）时，纵截距－t最小此时t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；当直线y=x－t经过点B（－1，1）时，纵截距－t最大，此时t有最小值为tmin= 3×（－1）－2×1=－5
因此，函数z=3x－2y在约束条件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值为11，最小值为－5
11..制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目。根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解析：设投资人分别用x万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知，化简得，总赢利。作出可行域（图略）。。解方程组得最优解A（4，6），。
答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的赢利最大。
12.某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h（4≤v≤20）从A港出发到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h（30≤w≤100）自B港向距300 km的C市驶去 ( http: / / www. / )应该在同一天下午4至9点到达C市设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h
（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；
（2）如果已知所需的经费p=100+3×（5－x）+2×（8－y）（元），
那么v、w分别是多少时走得最经济 此时需花费多少元
分析：由p=100+3×（5－x）+2×（8－y）可知影响花费的是3x+2y的取值范围
解：（1）依题意得v=，w=，4≤v≤20，30≤w≤100
∴3≤x≤10，≤y≤ ①
由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在
9至14个小时之间，
即9≤x+y≤14 ②
因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图
中阴影部分（包括边界）
（2）∵p=100+3·（5－x）+2·（8－y），
∴3x+2y=131－p
设131－p=k，那么当k最大时，p最小 ( http: / / www. / )在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小
此时，v=125，w=30，p的最小值为93元
点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式 ( http: / / www. / )然后分析要求量的几何意义
例1图
0
100
200
300
100
200
300
400
500
y
x
l
M
例3
第10题
3
9
10
14
x
O
2.5
9
14
y
第12题