考前最后一轮基础知识巩固之第六章 第4课 不等式综合

第4课　不等式综合
【考点导读】
能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等.
【基础练习】
1.若函数，则与的大小关系是
2.函数在区间上恒为正，则的取值范围是0＜a＜2
3.当点在直线上移动时，的最小值是7
4.已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(，)，则f(x)·g(x)＞0的解集是
5.对于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，则x的取值范围是x＞3或x＜－1
【范例导析】
例1、已知集合，函数的定义域为Q
（1）若，求实数a的取值范围。
（2）若方程在内有解，求实数a的取值范围。
分析：问题（1）可转化为在内有有解；从而和问题（2）是同一类型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数.
解：（1）若，在内有有解
令
当时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
（2）方程在内有解
则在内有解
当时，
所以时，在内有解
点拨：本题用的是参数分离的思想
例2.已知f(x)是定义在[—1，1]上的奇函数，且f (1)=1，若m、n∈[—1，1]，m+n≠0时有
（1）判断f (x)在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式:；
（3）若f (x)≤对所有x∈[—1，1]，∈[—1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
分析：可利用定义法判断单调性，再利用单调性解决问题（2），问题（3）只要f (x)max≤
解：(1)任取—1≤x1f (x1)—f (x2)= f (x1)+f (－x2)=
∵—1≤x1由已知＞0，又x1－x2＜0，
∴f (x1)—f (x2)＜0，即f (x)在[—1，1]上为增函数．
（2）∵f (x)在[—1，1]上为增函数，故有
（3）由(1)可知：f（x）在[—1，1]上是增函数，且f (1)=1，故对x∈[—l，1]，
恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤，对所有x∈[—1，1]， ∈[—1，1]恒成立，
即要≥1成立，故≥0成立．
记g()=对 ∈[—1，1]，g()≥0恒成立，只需g()在[—1，1]上的最小值
大于等于零．
故
解得：t≤—2或t=0．
点拨：一般地，若与若分别存在最大值和最小值，则恒成立等价于.
例3.甲、乙两地相距，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度的平方成正比，且比例系数为；固定部分为元．
（1）把全程运输成本元表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解
解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为
．
故所求函数为，定义域为．
（2）由于都为正数，
故有，
即．
当且仅当，即时上式中等号成立．
若时，则时，全程运输成本最小；
当，易证，函数单调递减，即时，．
综上可知，为使全程运输成本最小，
在时，行驶速度应为；
在时，行驶速度应为．
点拨：本题主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．
反馈练习：
1.设，函数，则使的的取值范围是
2.一个直角三角形的周长为2P，其斜边长的最小值
3.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是
4.如果函数的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是____ a<-1____
5.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为
6.设实数m,n,x,y满足的最大值
7．已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是［－2，2］
8.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式都成立的x的取值范围
9..三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 a≤10
10.设曲线在点处的切线斜率为，且,对一切实数，不等式恒成立（）.
(1) 求的值；　　　　(2) 求函数的表达式.
解：（1）设， ,
,
(2)解：
, ，
又， 即
11.已知二次函数f (x)=,设方程f (x)=x的两个实根为x1和x2．
（1）如果x1<2＜x2<4，且函数f (x)的对称轴为x=x0，求证：x0＞—1；
（2）如果∣x1∣<2，∣x2—x1∣=2，求的取值范围．
解：(1)设g(x)= f (x)—x=，且g(4)>0，即
∴
（2）由g(x)=．
①若02，∴g(2)=4a+2b—1<0，
又，代入上式得
②若-2故当012.已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为v km/h(8分析：本题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间体现了分类讨论这一重要的数学思想，本题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中要重视。
解：设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则
当v=12时，y1=720
得k=5
设全程燃料费为y，依题意有
当，即v=16时取等号
8所以当时，v=16时全程燃料费最省
当时，令
任取
则
即在上为减函数，当v=v0时，y取最小值
综合得：当时，v=16km/h，全程燃料费最省，32000为元，当时，当v=v0时，全程燃料费最省，为元。
另解：当时，令
上为减函数
以下相同
点拨：注意基本不等式应用条件和分类讨论；判断函数单调性用导数是很有效的方法