考前最后一轮基础知识巩固之第七章检测
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文档简介
本章自主检测
一．填空题
1．如果直线与平面的一条垂线垂直，那么与的位置关系是 在平面内或者∥ 。
2．侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是。
3．一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 。
4．若、表示直线，表示平面，则下列命题中，正确的个数为 3个 。
① ② ③ ④
5．已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，下列命题：
⑴a∥c，b∥ca∥b；⑵a∥，b∥a∥b；⑶c∥，c∥∥；⑷∥，∥∥；
⑸a∥c，∥ca∥；⑹a∥，∥a∥。其中正确的命题是 ⑴、⑷ 。
6．三平面两两垂直，他们的三条交线交于点O，P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP=。
7．若棱锥底面面积为，平行于底面的截面面积是，底面和这个截面的距离是，则棱锥的高为 30cm 。
8．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有__4_____个。
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，E为CD上的动点，四边形ABCD为 AB∥CD 时，体积
恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．
10．用一个与正方体的各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是下列选项中的 _①③④___。（把所有符合条件的图形序号填入）．
①矩形 ②直角梯形 ③菱形 ④正方形
11．已知是异面直线，那么：
①必存在平面，过且与平行； ②必存在平面，过且与 垂直；
③必存在平面，与，都垂直； ④必存在平面，与，的距离都相等.
其中正确的结论是 ①④ 。
12．正四棱柱的底面边长为，高为，一蚂蚁从顶点出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为 。
13．若的中点到平面的距离为，点到平面的距离为，则点到平面的距离为
2或14_____。
14．已知正方体ABCD－，则该正方体的体积、四棱锥-ABCD的体积以及该正方体的外接球的体积之比为。
二、解答题：本大题共5小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A,此四棱锥的三视图如图:
(1) 根据图中的信息,在四棱锥P-ABCD的侧面、底面和棱中,请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种):
一对互相垂直的异面直线
一对互相垂直的平面
③一对互相垂直的直线和平面
(2) 计算四棱锥P-ABCD的表面积.
解：（1）①
②
③
（2）
16．（本小题满分14分）已知正方体，是底对角线的交点.
证明：（1）面； (2）面．
证明：（1）连结，设 连结，
是正方体，是平行四边形．
且 ．
又分别是的中点，且．
是平行四边形 ．
面，面
面
（2）面 ．
又， ， ．
同理可证， 又，面 ．
17．（本小题满分16分）如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个
三棱锥B1—A1BC1后得到的几何体．
（1） 画出该几何体的正视图；
（2） 若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O∥平面A1BC1；
（3）． 求证：平面A1BC1⊥平面BD1D．
解：（1）该几何体的正视图为：
（2）将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，
依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1=OB，即四边形D1OB O1为平行四边形，
则D1O∥O1B，因为BO1平面BA1C1，D1O平面BA1C1，所以有直线D1O∥平面BA1C1；
（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，
则DD1⊥A1C1， 另一方面，B1D1⊥A1C1，
又∵DD1∩B1D1= D1，∴A1C1⊥平面BD1D，
∵A1C1平面A1BC1，则平面A1BC1⊥平面BD1D．
18．（本小题满分16分）如图，在多面体ABCDE中，AE⊥ABC，BD∥AE，
且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F在CD上（不含C, D两点）
（1）求多面体ABCDE的体积；
（2）若F为CD中点,求证：EF⊥面BCD；
(3)当的值= 时，能使AC ∥平面EFB，并给出证明。
解：(1)设AB中点为H，则由AC＝AB＝BC＝2，可得CH⊥AB且CH＝．
又BD∥AE，所以BD与AE共面．
又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．
所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C－ABDE的高．
故四棱锥C－ABDE的体积为VC－ABDE＝SABDE·CH＝[(1＋2)×2×]＝．
(2)取BC中点G，连FG，AG．
因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．
又AG面ABC，所以BD⊥AG．
又AC＝AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG平面BCD．
又因为F是CD的中点且BD＝2，所以FG∥BD且FG＝BD＝1，所以FG∥AE．
又AE＝1，所以AE＝FG，所以四边形AEFG是平行四边形，
所以EF∥AG，所以EF⊥BCD．
（3）=2（证明过程略）。
19．（本小题满分16分）
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a,E为棱CC1上的的动点．
（1）求证：A1E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD；
（3）求。
证明：（1）连AC,A1C1
正方体AC1中，AA1平面ABCD AA1BD
正方形ABCD， ACBD且ACAA1=A
BD平面ACC1A1 且ECC1 A1E平面ACC1A1 BDA1E
（2）设ACBD=O，则O为BD的中点，连A1O,EO
由（1）得BD平面A1ACC1 BDA1O,BDEO
即为二面角A1-BD-E的平面角。
AB=a，E为CC1中点 A1O= A1E= EO=
A1O2+OE2=A1E2 A1OOE
平面A1BD平面BDE
(3)由（2）得A1O平面BDE 且A1O=
V=
A
B
C
E
D
F
一．填空题
1．如果直线与平面的一条垂线垂直，那么与的位置关系是 在平面内或者∥ 。
2．侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是。
3．一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 。
4．若、表示直线，表示平面，则下列命题中，正确的个数为 3个 。
① ② ③ ④
5．已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，下列命题：
⑴a∥c，b∥ca∥b；⑵a∥，b∥a∥b；⑶c∥，c∥∥；⑷∥，∥∥；
⑸a∥c，∥ca∥；⑹a∥，∥a∥。其中正确的命题是 ⑴、⑷ 。
6．三平面两两垂直，他们的三条交线交于点O，P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP=。
7．若棱锥底面面积为，平行于底面的截面面积是，底面和这个截面的距离是，则棱锥的高为 30cm 。
8．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有__4_____个。
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，E为CD上的动点，四边形ABCD为 AB∥CD 时，体积
恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．
10．用一个与正方体的各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是下列选项中的 _①③④___。（把所有符合条件的图形序号填入）．
①矩形 ②直角梯形 ③菱形 ④正方形
11．已知是异面直线，那么：
①必存在平面，过且与平行； ②必存在平面，过且与 垂直；
③必存在平面，与，都垂直； ④必存在平面，与，的距离都相等.
其中正确的结论是 ①④ 。
12．正四棱柱的底面边长为，高为，一蚂蚁从顶点出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为 。
13．若的中点到平面的距离为，点到平面的距离为，则点到平面的距离为
2或14_____。
14．已知正方体ABCD－，则该正方体的体积、四棱锥-ABCD的体积以及该正方体的外接球的体积之比为。
二、解答题：本大题共5小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A,此四棱锥的三视图如图:
(1) 根据图中的信息,在四棱锥P-ABCD的侧面、底面和棱中,请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种):
一对互相垂直的异面直线
一对互相垂直的平面
③一对互相垂直的直线和平面
(2) 计算四棱锥P-ABCD的表面积.
解：（1）①
②
③
（2）
16．（本小题满分14分）已知正方体，是底对角线的交点.
证明：（1）面； (2）面．
证明：（1）连结，设 连结，
是正方体，是平行四边形．
且 ．
又分别是的中点，且．
是平行四边形 ．
面，面
面
（2）面 ．
又， ， ．
同理可证， 又，面 ．
17．（本小题满分16分）如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个
三棱锥B1—A1BC1后得到的几何体．
（1） 画出该几何体的正视图；
（2） 若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O∥平面A1BC1；
（3）． 求证：平面A1BC1⊥平面BD1D．
解：（1）该几何体的正视图为：
（2）将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，
依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1=OB，即四边形D1OB O1为平行四边形，
则D1O∥O1B，因为BO1平面BA1C1，D1O平面BA1C1，所以有直线D1O∥平面BA1C1；
（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，
则DD1⊥A1C1， 另一方面，B1D1⊥A1C1，
又∵DD1∩B1D1= D1，∴A1C1⊥平面BD1D，
∵A1C1平面A1BC1，则平面A1BC1⊥平面BD1D．
18．（本小题满分16分）如图，在多面体ABCDE中，AE⊥ABC，BD∥AE，
且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F在CD上（不含C, D两点）
（1）求多面体ABCDE的体积；
（2）若F为CD中点,求证：EF⊥面BCD；
(3)当的值= 时，能使AC ∥平面EFB，并给出证明。
解：(1)设AB中点为H，则由AC＝AB＝BC＝2，可得CH⊥AB且CH＝．
又BD∥AE，所以BD与AE共面．
又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．
所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C－ABDE的高．
故四棱锥C－ABDE的体积为VC－ABDE＝SABDE·CH＝[(1＋2)×2×]＝．
(2)取BC中点G，连FG，AG．
因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．
又AG面ABC，所以BD⊥AG．
又AC＝AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG平面BCD．
又因为F是CD的中点且BD＝2，所以FG∥BD且FG＝BD＝1，所以FG∥AE．
又AE＝1，所以AE＝FG，所以四边形AEFG是平行四边形，
所以EF∥AG，所以EF⊥BCD．
（3）=2（证明过程略）。
19．（本小题满分16分）
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a,E为棱CC1上的的动点．
（1）求证：A1E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD；
（3）求。
证明：（1）连AC,A1C1
正方体AC1中，AA1平面ABCD AA1BD
正方形ABCD， ACBD且ACAA1=A
BD平面ACC1A1 且ECC1 A1E平面ACC1A1 BDA1E
（2）设ACBD=O，则O为BD的中点，连A1O,EO
由（1）得BD平面A1ACC1 BDA1O,BDEO
即为二面角A1-BD-E的平面角。
AB=a，E为CC1中点 A1O= A1E= EO=
A1O2+OE2=A1E2 A1OOE
平面A1BD平面BDE
(3)由（2）得A1O平面BDE 且A1O=
V=
A
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