第1课 空间几何体
【考点导读】
1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；
3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；
4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
【基础练习】
1．一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 14 条棱， 8 个面；②如果它是棱柱，那么它有 12 条棱 6 个面。
2. 是正的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么的面积为。
3.（1）如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ③④ 。
（2）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图的 ②③ （要求：把可能的图的序号都填上）.
4.一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为 。
5.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是。
【范例导析】
例1．（1）下列结论中，正确的是 。
（1）各个面都是三角形的几何体是三棱锥
（2）以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
（4）圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是圆锥的母线
（2）下列命题中，假命题是 （1）（3） 。（选出所有可能的答案）
（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体
分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。
（1）（4）是正确的。（1）中可以是把两个三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但不是三棱锥。（2）中要取决于三角形的形状，以及旋转方式，比如等腰直角三角形中以直角边为旋转轴进行旋转就不是圆锥。（3）中若棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形可知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长。
（1）和（3）是错误的。（1）中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。（3）中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。
点评：对于概念判断的类型，举反例是非常有效的方法。
例2．是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么△ABC的面积为_______________。
解析：。
点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。
例3．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为____________________（写出所有正确结论的编号）
解析：如图，B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤。
点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。
例4．（1）画出下列几何体的三视图
（2）某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状
分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。
解析：（1）这两个几何体的三视图分别如下：
（2）该几何体为一个正四棱锥。
点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。
例5．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）的球心O，且与BC，DC分别交于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是 S1=S2 。
解析：连OA、OB、OC、OD，
则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD
VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC
又VA－BEFD＝VA－EFC，
而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，
故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC
又面AEF公共，故选C
点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。
备用题：1。如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。
（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；
（2）求这个平行六面体的体积。
图2
解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，
作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。
易得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN，
∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N，
从而OM=ON。∴点O在∠BAD的平分线上。
（2）∵AM=AA1cos=3×= ∴AO==。
又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12 - AO2=9－=，
∴A1O=，平行六面体的体积为。
2．如图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．
变式题1．如图2是一个几何体的三视图（单位：cm）
（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；
（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；
（Ⅲ）设异面直线与所成的角为，求．
解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图3所示．
（Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．
由于底面的高为1，所以．
故所求全面积
．
这个几何体的体积
（Ⅲ）因为，所以与所成的角是．
在中，，
故．
【反馈演练】
1．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是。
2．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=。
解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3=πR2r。故。答案为。
点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。
3．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是。
4．如图所示，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 。
5．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 六棱锥 。
6．正四棱柱的底面边长为，高为，一蚂蚁从顶点出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为。
7．空间四边形中，，，分别是边上的点，且为平行四边形，则四边形的周长的取值范围是__________。
8．设棱长为4的平行六面体的体积为，分别是棱
上的点，且，则三棱锥的体积。
9．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)菱形；(3)矩形；(4)正方形；(5)正六边形。其中正确的结论是____（2）（3）（4）（5）__________。（把你认为正确的序号都填上）
10．三棱锥中，，其余棱长均为1。
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积的最大值。
解：（1）取中点，∵与均为正三角形，
∴，
∴平面。
∴
(2)当平面时，三棱锥的高为，
此时
11．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线.
（1）求圆锥的母线与底面所成的角；
（2）求圆锥的全面积．
解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，
由题意得：,
即,
所以母线和底面所成的角为
(2)设截面与圆锥侧面的交线为MON，
其中O为截面与AC的交点，则OO1//AB且
在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，
则O为抛物线的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，
点N的坐标为（R，－R），代入方程得：R2=－2p（－R），
得：R=2p，l=2R=4p.
∴圆锥的全面积为.
说明：将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向.
12．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。
解析：设截面圆心为，连结，设球半径为，
则，
在中，，
∴，
∴，
∴。
点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。
① ② ③ ④
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A1
（2）
D
O
C
E
F
B
A
正视图
侧视图
图1
俯视图
正视图
侧视图
图2
俯视图
图3
P
A
B
C
M第4课 空间中的垂直关系
【考点导读】
1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。
2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。
【基础练习】
1．“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的 必要 条件。
2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。
3．已知是两个平面，直线若以①，②，③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是 2 个。
4．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。
5．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是 平行、相交或在另一个平面内 。
6．在正方体中，写出过顶点A的一个平面__AB1D1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
【范例导析】
例1．如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
（1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD；
解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.
证明：（1）连结AC,AC交BD于O,连结EO.
∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点
在中,EO是中位线,∴PA // EO
而平面EDB且平面EDB,
所以,PA // 平面EDB
（2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴
∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,
∴. ①
同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.
而平面PDC,∴. ②
由①和②推得平面PBC. 而平面PBC,∴
又且,所以PB⊥平面EFD.
例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，
求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；
（3）平面DEA ⊥平面ECA。
分析：（1）证明DE ＝DA ，可以通过图形分割，证明△DEF ≌△DBA。（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形。从而证明DM ⊥平面ECA。
证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF。
∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。
∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。
∵ BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，
则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。
又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。
（2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ，
∵ M 是EA 的中点，∴ MN EC。
由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。
∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，
∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA ⊥平面BDM。
（3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，
∴ 平面DEA ⊥平面ECA。
点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。
例3．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，
∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是A1B1 中点．
求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，
会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。
分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置。
证明：（1）如图，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，
∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。
又 D 是A1B1 的中点，∴ C1D ⊥A1B1 。
∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，
∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。
（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 ⊥平面C1DF ，点F 即为所求。
∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，
∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，
∴ AB1 ⊥平面C1DF 。
点评：本题（1）的证明中，证得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。
备用题．如图，边长为2的正方形ABCD中，
（1）点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点，求证：．
（2）当时，求三棱锥的体积．
变式题．如图，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．求证：；
解：在中，，
在中，，
∵，
∴．
∵平面平面，且交线为，
∴平面．
∵平面，
∴．
【反馈演练】
1．下列命题中错误的是 （3） 。
（1）若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线
（2）若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直
（3）若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面
（4）若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
2．设是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若
，且”为真命题的是 ①③④ （填所有正确条件的代号）
①x为直线，y，z为平面 ②x，y，z为平面
③x，y为直线，z为平面 ④x，y为平面，z为直线
⑤x，y，z为直线
3．二面角α—a—β的平面角为120°，在面α内，AB⊥a于B，AB=2在平面β内，CD⊥a
于D，CD=3，BD=1，M是棱a上的一个动点，则AM+CM的最小值为 。
4．已知三棱锥中，顶点在底面的射影是三角形的内心，关于这个三棱锥有三个命题：①侧棱；②侧棱两两垂直；③各侧面与底面所成的二面角相等。其中错误的是 ①② 。
5．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有_____4____个。
6．若的中点到平面的距离为，点到平面的距离为，则点到平面 的距离为_2或14________。
7．三棱锥中，侧棱两两垂直，底面内一点到三个侧面的距离分别是，那么__7______。
8．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，
那么这个球面的表面积是 .
9．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。
命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。
答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等……）
10．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： 。
答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β
11．已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，
D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（1）求证：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比．
解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．
由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．
（2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．
由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．
又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．
（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则
h1∶h2=EP∶AP=2∶3,
故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1
点评：值得注意的是, “截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个,不要犯这种“会而不全”的错误.
12．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（2）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC
为直角三角形？请给出证明.
解：（1）∵ CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵
又面
∴ 平面SAD，∴又
为直角梯形
(2)当时，为直角三角形 .
,
平面平面.
在中，为SB中点，.
平面平面 为直角三角形。第3课 空间中的平行关系
【考点导读】
1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】
1．若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是 异面或相交 。
2．给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是 4 个。
3．对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l 垂直 。
4. m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线，α与β交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是 既不可能垂直，也不可能平行 。
5. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题：
①a∥c，b∥ca∥b；②a∥r，b∥ra∥b；③α∥c，β∥cα∥β；
④α∥r，β∥rα∥β；⑤a∥c，α∥ca∥α；⑥a∥r，α∥ra∥α．
其中正确的命题是 ①④ 。
【范例导析】
空间四边形ABCD中，P、Q、R分别AB、AD、CD 的中点，平面PQR交BC于S ,
求证：四边形PQRS为平行四边形。
证明：∵PQ为AB、AD中点 ∴PQ//BD
又PQ平面BCD ，BD平面BCD ∴ PQ//平面BCD
又平面PQR∩平面BCD＝RS , PQ平面RQR ∴ PQ//RS
∵R为DC中点,∴ S为BC中点,
∴PQ// RS 且PQ= RS ∴ PQRS 为平行四边形
点评：灵活运用线面平行的判定定理和性质定理,“线线平行”与“线面平行”的转化是证平行关系的常用方法。
变式题：如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形．
求证：AB∥平面EFG．
证明 ：∵面EFGH是截面．
∴点E，F，G，H分别在BC，BD，DA，AC上．
∴EH 面ABC，GF 面ABD，
由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD．
又 ∵EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB
∴EH∥AB．
∴AB∥面EFG．
例2． 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.
求证:MN∥平面AA1B1B.
分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以
互相转化的。本题可以采用任何一种转化方式。
简证：法1：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，如图所示作平行线即可。
法2：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。连CN并延长交直线BA于点P，
连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MN∥B1P.
法3：把证“线面平行”转化为证“面面平行”。
过M作MQ//BB1交BC于B1，连NQ,则平面MNQ与平面ABB1A1平行，
从而证得MN∥平面ABB1A1.
点评：证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。
例3．已知：a、b是异面直线，a平面，b平面，a∥，b∥．
求证： ∥．
证法1：在a上任取点P，
显然点P不在直线b上．于是b和点P确定平面 ．
且与有公共点P ∴ ∩＝b′且b′和a交于P，
∵ b∥， ∴ b∥b′ ∴ b′∥, 而a∥
这样内相交直线a和b′都平行于
∴ ∥．
证法2：设AB是a、b的公垂线段，过AB和b作平面，
则∩＝b′，过AB和a作平面，则∩＝a′．
a∥a∥a′ b∥b∥b′
∴AB⊥aAB⊥a′，AB⊥bAB⊥b′
于是AB⊥ 且AB⊥ ，∴ ∥．
【反馈演练】
1. 对于平面M与平面N, 有下列条件: ①M、N都垂直于平面Q; ②M、N都平行于平面Q; ③ M内不共线的三点到N的距离相等; ④ l, M内的两条直线, 且l // M, m // N; ⑤ l, m是异面直线,且l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面M与平面N平行的条件的个数是： 2个 。
2．对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是 （3）。
（1）若则 （2）若则
（3）若则 （4）若、与所成的角相等，则
3. 设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 （2） 。
（1）经过直线a有且只有一个平面平行于直线b
（2）经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b
（3）存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面
（4）存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面
4．关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是（4） 。
（1）若a∥M，b∥M，则a∥b （2）若a∥M，b⊥a，则b⊥M
（3）若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M （4）若a⊥M，a∥N，则M⊥N
5．“任意的，均有”是“任意，均有”的 充要条件 。
6.在正方体AC1中，过A1C且平行于AB的截面是 面A1B1CD .
7．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1,CC1相交于E,F两点，则四边形EBFD!的形状为 平行四边形 。
8．正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹为 双曲线 。
9．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是。
10. 已知Ｐ为平行四边形ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，
求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，
则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，
∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，
∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
11．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点（1）求证：平面；（2）若，， 求异面直线与所成的角的大小
略证：（1）取PD的中点H，连接AH，
为平行四边形
(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是异面直线与所成的角，由，得，OM=2，ON=
所以，即异面直线与成的角
12．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。
证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，
则MP∥AB，NQ∥AB。
∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，
∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°
∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形
∴MN∥PQ
∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，
∴MN∥平面BCE。
证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，
∴
连结NH，由BF=AC，FN=AM，得
∴ NH//AF//BE
由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE
∴MN∥平面BCE。
A
B
C
D
N
F
E
M
A11
B11
D11
C11
b′
20
20
正视图
20
侧视图
10
10
20
俯视图第2课 平面的性质与直线的位置关系
【考点导读】
1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。
2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。
3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。
【基础练习】
1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 （3） 。
（1）∵，∴． （2）∵，∴．
（3）∵，∴． （4）∵，∴．
2．下列推断中，错误的是 （4） 。
（1）
（2），A,B,C不共线重合
（3）
（4）
3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）
（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）
（3）两条直线可以确定一个平面（ ）
（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）
（5）两条相交直线可以确定一个平面（ ）
（6）三条平行直线可以确定三个平面（ ）
（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）
（8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）
⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×
4．如右图，点E是正方体的棱的中点，则过点E与直线和都相交的直线的条数是： 1 条
5．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60 角；
④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 ③④ 。
6．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec
求证：BD和AE是异面直线
证明：假设__ 共面于，则点A、E、B、D都在平面_ _内
Aa，Da，∴__γ. Pa，∴P__.
Pb，Bb，Pc，Ec ∴_ _， __，这与____矛盾
∴BD、AE__________
答案：假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面 内。
∵Aa，Da，∴ a . ∵Pa，P .
∵Pb，Bb，Pc，Ec. ∴ b ，c ，这与a、b、c不共面矛盾
∴BD、AE是异面直线翰林
【范例导析】
例1．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
分析 ：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明，
也可以转化为直线共面的条件即几何证法。
解：法一：（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
法二：（1）
∴
∴ 同理 又 ∴
∴共面；
（2）由（1）知：，从而可证
同理可证，所以，平面平面．
点评：熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。
例2．已知空间四边形ABCD.
(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;
(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇
分析：证明两条直线异面通常采用反证法。
证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，
所以A、B、C、D四点共面
这与空间四边形ABCD的定义矛盾
所以对角线AC与BD是异面直线
(2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC.
同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.
又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.
∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.
(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.
点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。
例3．如图，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形
简证：由可以证得≌
所以 又可以由正方体的性质证明
所以四边形是平行四边形
变式题：如图，已知、分别是正方体的棱和棱的中点．
（Ⅰ）试判断四边形的形状；
（Ⅱ）求证：平面平面．
解（Ⅰ）如图，取的中点，连结、．
∵、分别是和的中点，
∴，
在正方体中，有， ∴，
∴四边形是平行四边形，∴．
又、分别是、的中点，∴，∴四边形为平行四边形，
∴．故．∴四边形是平行四边形．
又≌，∴，故四边形为菱形．
（Ⅱ）连结、、． ∵四边形为菱形，∴．
在正方体中，有，
∴平面．又平面，∴．
又，∴平面．
又平面，故平面平面
例4：如图，已知平面，且是垂足，试判断直线与的位置关系？并证明你的结论．
解：与是异面直线。
可采用反证法进行证明。
变式题1：如图，已知平面，且是垂足．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．
解：（Ⅰ）因为，所以．
同理．
又，故平面．
（Ⅱ）平面平面。证明如下：设与平面的交点为，
连结、．因为平面，所以，
所以是二面角的平面角．
又，所以，即．
在平面四边形中，，
所以．故平面平面．
备用题：（1）已知异面直线a,b所成的角为70，则过空间一定点O，与两条异面直线a,b都成60角的直线有 条
（2）异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O，过点O有3条直线与a,b所成角都是60，则的取值可能是 。
A．30 B．50 C．60 D．90
解析：（1）过空间一点O分别作∥a,∥b。
将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都成60角的直线。故过点 O与a,b都成60角的直线有4条。
（2）过点O分别作∥a、∥b，则过点O有三条直线与a,b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与所成角都为60，其中一条正是角的平分线。从而可知为60。
点评：该题以学生对异面直线所成的角会适当转化，较好的考察了空间想象能力。
【反馈演练】
1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）
（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（ ）
（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60 （ ）
（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ）
答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×
2．定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 4 个。
3．P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，，，则P到A点的距离是 1 。
4．直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在平面α外，C在平面α内的射影为C1，且C1AB，则△C1AB为 钝角三角形 。
5．已知四点，无三点共线，则可以确定 1个或4个 平面。
6．某刺猬有2009根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有 4014 种不同的支撑身体的方式。
【答案】4014．当有n根刺时有种支撑法，n = 4，5， 6，… ，
则或
∴n = 4，5，6，…， 为等差数列，
∵ ∴，∴ 。
7．在正方体中，写出过顶点A的一个平面，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
8．P为所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABC所的角均相等，又PA与BC垂直，那么的形状可以是 。
①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形
【答案】由题意可知的外心在BC边的高线上，故一定有AB=AC选（1）（2）（4）。
9．给出以下四个命题：（1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（2）若直线上有一点在平面外，则该直线在平面外；（3）若直线a,b,c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面；（4）两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是 (1)(2) 。
10．三个平面α，β，γ两两相交，a，b，c是三条交线。
（1）若，求证：a，b，c三线共点;
(2)若,用反证法证明直线a，b，c互相平行。
证明：（1）设
则∴ ∴a，b，c三线共点于。
（2）假设不平行，∵共面 ∴可设
由（1）可知：a，b，c三线共点于，与已知条件矛盾。
∴ ∴a，b，c互相平行。
11．如图，已知（A,B不重合）
过A在平面α内作直线AC，过B在平面β内作直线BD。
求证：AC和BD是异面直线。
证明：（反证法）若AC和BD不是异面直线，
设确定平面γ，则由题意可知：平面α和γ都过AC和AC外一点B，所以两平面重合。
同理可证平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。
这与已知条件平面α和β相交矛盾。
所以AC和BD是异面直线。
12．如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于M，RQ，DB的延长线交于N，RP，DC的延长线交于K。求证：M，N，K三点共线。
证明：∵，
∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点
即M在平面PQR与平面BCD的交线上。
同理可证N，K也在该交线上。
∴M，N，K三点共线。
点评：利用两平面交线的唯一性，是证明多点共线的常用方法。
E
A
F
B
C
M
N
D
α
β
D
B
C
A
A
K
N
M
R
Q
P
D
C
B第七章 立体几何初步
【知识图解】
【方法点拨】
立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。在复习时我们要以下几点：
1．注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。
2．归纳总结，分门别类。从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。
3．抓主线，攻重点。针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。
4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。
空间几何体
构成几何体
的基本元素
柱、锥、台、球的特征
直观认识线面平行与垂直
表面积与体积
中心投影与平行投影
直观图与三视图的画法
点、线、面之间的位置关系
平面的基本性质
确定平面的位置关系
空间中的平行关系
直线与直线的平行关系
直线与平面平行的判断及性质
平面与平面平行的判断及性质
空间中的垂直关系
直线与平面垂直的判断及性质
平面与平面垂直的判断及性质
直线与直线的垂直关系本章自主检测
一．填空题
1．如果直线与平面的一条垂线垂直，那么与的位置关系是 在平面内或者∥ 。
2．侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是。
3．一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 。
4．若、表示直线，表示平面，则下列命题中，正确的个数为 3个 。
① ② ③ ④
5．已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，下列命题：
⑴a∥c，b∥ca∥b；⑵a∥，b∥a∥b；⑶c∥，c∥∥；⑷∥，∥∥；
⑸a∥c，∥ca∥；⑹a∥，∥a∥。其中正确的命题是 ⑴、⑷ 。
6．三平面两两垂直，他们的三条交线交于点O，P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP=。
7．若棱锥底面面积为，平行于底面的截面面积是，底面和这个截面的距离是，则棱锥的高为 30cm 。
8．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有__4_____个。
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，E为CD上的动点，四边形ABCD为 AB∥CD 时，体积
恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．
10．用一个与正方体的各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是下列选项中的 _①③④___。（把所有符合条件的图形序号填入）．
①矩形 ②直角梯形 ③菱形 ④正方形
11．已知是异面直线，那么：
①必存在平面，过且与平行； ②必存在平面，过且与 垂直；
③必存在平面，与，都垂直； ④必存在平面，与，的距离都相等.
其中正确的结论是 ①④ 。
12．正四棱柱的底面边长为，高为，一蚂蚁从顶点出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为 。
13．若的中点到平面的距离为，点到平面的距离为，则点到平面的距离为
2或14_____。
14．已知正方体ABCD－，则该正方体的体积、四棱锥-ABCD的体积以及该正方体的外接球的体积之比为。
二、解答题：本大题共5小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A,此四棱锥的三视图如图:
(1) 根据图中的信息,在四棱锥P-ABCD的侧面、底面和棱中,请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种):
一对互相垂直的异面直线
一对互相垂直的平面
③一对互相垂直的直线和平面
(2) 计算四棱锥P-ABCD的表面积.
解：（1）①
②
③
（2）
16．（本小题满分14分）已知正方体，是底对角线的交点.
证明：（1）面； (2）面．
证明：（1）连结，设 连结，
是正方体，是平行四边形．
且 ．
又分别是的中点，且．
是平行四边形 ．
面，面
面
（2）面 ．
又， ， ．
同理可证， 又，面 ．
17．（本小题满分16分）如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个
三棱锥B1—A1BC1后得到的几何体．
（1） 画出该几何体的正视图；
（2） 若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O∥平面A1BC1；
（3）． 求证：平面A1BC1⊥平面BD1D．
解：（1）该几何体的正视图为：
（2）将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，
依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1=OB，即四边形D1OB O1为平行四边形，
则D1O∥O1B，因为BO1平面BA1C1，D1O平面BA1C1，所以有直线D1O∥平面BA1C1；
（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，
则DD1⊥A1C1， 另一方面，B1D1⊥A1C1，
又∵DD1∩B1D1= D1，∴A1C1⊥平面BD1D，
∵A1C1平面A1BC1，则平面A1BC1⊥平面BD1D．
18．（本小题满分16分）如图，在多面体ABCDE中，AE⊥ABC，BD∥AE，
且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F在CD上（不含C, D两点）
（1）求多面体ABCDE的体积；
（2）若F为CD中点,求证：EF⊥面BCD；
(3)当的值= 时，能使AC ∥平面EFB，并给出证明。
解：(1)设AB中点为H，则由AC＝AB＝BC＝2，可得CH⊥AB且CH＝．
又BD∥AE，所以BD与AE共面．
又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．
所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C－ABDE的高．
故四棱锥C－ABDE的体积为VC－ABDE＝SABDE·CH＝[(1＋2)×2×]＝．
(2)取BC中点G，连FG，AG．
因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．
又AG面ABC，所以BD⊥AG．
又AC＝AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG平面BCD．
又因为F是CD的中点且BD＝2，所以FG∥BD且FG＝BD＝1，所以FG∥AE．
又AE＝1，所以AE＝FG，所以四边形AEFG是平行四边形，
所以EF∥AG，所以EF⊥BCD．
（3）=2（证明过程略）。
19．（本小题满分16分）
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a,E为棱CC1上的的动点．
（1）求证：A1E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD；
（3）求。
证明：（1）连AC,A1C1
正方体AC1中，AA1平面ABCD AA1BD
正方形ABCD， ACBD且ACAA1=A
BD平面ACC1A1 且ECC1 A1E平面ACC1A1 BDA1E
（2）设ACBD=O，则O为BD的中点，连A1O,EO
由（1）得BD平面A1ACC1 BDA1O,BDEO
即为二面角A1-BD-E的平面角。
AB=a，E为CC1中点 A1O= A1E= EO=
A1O2+OE2=A1E2 A1OOE
平面A1BD平面BDE
(3)由（2）得A1O平面BDE 且A1O=
V=
A
B
C
E
D
F
