考前最后一轮基础知识巩固之第七章 第2课 平面的性质与直线的位置关系

第2课 平面的性质与直线的位置关系
【考点导读】
1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。
2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。
3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。
【基础练习】
1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 （3） 。
（1）∵，∴． （2）∵，∴．
（3）∵，∴． （4）∵，∴．
2．下列推断中，错误的是 （4） 。
（1）
（2），A,B,C不共线重合
（3）
（4）
3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）
（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）
（3）两条直线可以确定一个平面（ ）
（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）
（5）两条相交直线可以确定一个平面（ ）
（6）三条平行直线可以确定三个平面（ ）
（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）
（8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）
⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×
4．如右图，点E是正方体的棱的中点，则过点E与直线和都相交的直线的条数是： 1 条
5．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60 角；
④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 ③④ 。
6．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec
求证：BD和AE是异面直线
证明：假设__ 共面于，则点A、E、B、D都在平面_ _内
Aa，Da，∴__γ. Pa，∴P__.
Pb，Bb，Pc，Ec ∴_ _， __，这与____矛盾
∴BD、AE__________
答案：假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面 内。
∵Aa，Da，∴ a . ∵Pa，P .
∵Pb，Bb，Pc，Ec. ∴ b ，c ，这与a、b、c不共面矛盾
∴BD、AE是异面直线翰林
【范例导析】
例1．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
分析 ：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明，
也可以转化为直线共面的条件即几何证法。
解：法一：（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
法二：（1）
∴
∴ 同理 又 ∴
∴共面；
（2）由（1）知：，从而可证
同理可证，所以，平面平面．
点评：熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。
例2．已知空间四边形ABCD.
(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;
(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇
分析：证明两条直线异面通常采用反证法。
证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，
所以A、B、C、D四点共面
这与空间四边形ABCD的定义矛盾
所以对角线AC与BD是异面直线
(2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC.
同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.
又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.
∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.
(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.
点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。
例3．如图，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形
简证：由可以证得≌
所以 又可以由正方体的性质证明
所以四边形是平行四边形
变式题：如图，已知、分别是正方体的棱和棱的中点．
（Ⅰ）试判断四边形的形状；
（Ⅱ）求证：平面平面．
解（Ⅰ）如图，取的中点，连结、．
∵、分别是和的中点，
∴，
在正方体中，有，　∴，
∴四边形是平行四边形，∴．
又、分别是、的中点，∴，∴四边形为平行四边形，
∴．故．∴四边形是平行四边形．
又≌，∴，故四边形为菱形．
（Ⅱ）连结、、． ∵四边形为菱形，∴．
在正方体中，有，
∴平面．又平面，∴．
又，∴平面．
又平面，故平面平面
例4：如图，已知平面，且是垂足，试判断直线与的位置关系？并证明你的结论．
解：与是异面直线。
可采用反证法进行证明。
变式题1：如图，已知平面，且是垂足．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．
解：（Ⅰ）因为，所以．
同理．
又，故平面．
（Ⅱ）平面平面。证明如下：设与平面的交点为，
连结、．因为平面，所以，
所以是二面角的平面角．
又，所以，即．
在平面四边形中，，
所以．故平面平面．
备用题：（1）已知异面直线a,b所成的角为70，则过空间一定点O，与两条异面直线a,b都成60角的直线有 条
（2）异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O，过点O有3条直线与a,b所成角都是60，则的取值可能是 。
A．30 B．50 C．60 D．90
解析：（1）过空间一点O分别作∥a,∥b。
将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都成60角的直线。故过点 O与a,b都成60角的直线有4条。
（2）过点O分别作∥a、∥b，则过点O有三条直线与a,b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与所成角都为60，其中一条正是角的平分线。从而可知为60。
点评：该题以学生对异面直线所成的角会适当转化，较好的考察了空间想象能力。
【反馈演练】
1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）
（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（ ）
（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60 （ ）
（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ）
答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×
2．定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 4 个。
3．P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，，，则P到A点的距离是 1 。
4．直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在平面α外，C在平面α内的射影为C1，且C1AB，则△C1AB为 钝角三角形 。
5．已知四点，无三点共线，则可以确定 1个或4个 平面。
6．某刺猬有2009根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有 4014 种不同的支撑身体的方式。
【答案】4014．当有n根刺时有种支撑法，n = 4，5， 6，… ，
则或
∴n = 4，5，6，…， 为等差数列，
∵ ∴，∴ 。
7．在正方体中，写出过顶点A的一个平面，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
8．P为所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABC所的角均相等，又PA与BC垂直，那么的形状可以是 。
①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形
【答案】由题意可知的外心在BC边的高线上，故一定有AB=AC选（1）（2）（4）。
9．给出以下四个命题：（1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（2）若直线上有一点在平面外，则该直线在平面外；（3）若直线a,b,c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面；（4）两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是 (1)(2) 。
10．三个平面α，β，γ两两相交，a，b，c是三条交线。
（1）若，求证：a，b，c三线共点;
(2)若,用反证法证明直线a，b，c互相平行。
证明：（1）设
则∴ ∴a，b，c三线共点于。
（2）假设不平行，∵共面 ∴可设
由（1）可知：a，b，c三线共点于，与已知条件矛盾。
∴ ∴a，b，c互相平行。
11．如图，已知（A,B不重合）
过A在平面α内作直线AC，过B在平面β内作直线BD。
求证：AC和BD是异面直线。
证明：（反证法）若AC和BD不是异面直线，
设确定平面γ，则由题意可知：平面α和γ都过AC和AC外一点B，所以两平面重合。
同理可证平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。
这与已知条件平面α和β相交矛盾。
所以AC和BD是异面直线。
12．如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于M，RQ，DB的延长线交于N，RP，DC的延长线交于K。求证：M，N，K三点共线。
证明：∵，
∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点
即M在平面PQR与平面BCD的交线上。
同理可证N，K也在该交线上。
∴M，N，K三点共线。
点评：利用两平面交线的唯一性，是证明多点共线的常用方法。
E
A
F
B
C
M
N
D
α
β
D
B
C
A
A
K
N
M
R
Q
P
D
C
B