考前最后一轮基础知识巩固之第七章 第4课 空间中的垂直关系

第4课 空间中的垂直关系
【考点导读】
1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。
2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。
【基础练习】
1．“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的 必要 条件。
2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。
3．已知是两个平面，直线若以①，②，③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是 2 个。
4．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。
5．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是 平行、相交或在另一个平面内 。
6．在正方体中，写出过顶点A的一个平面__AB1D1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
【范例导析】
例1．如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
（1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD；
解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.
证明：（1）连结AC,AC交BD于O,连结EO.
∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点
在中,EO是中位线,∴PA // EO
而平面EDB且平面EDB,
所以,PA // 平面EDB
（2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴
∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,
∴. ①
同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.
而平面PDC,∴. ②
由①和②推得平面PBC. 而平面PBC,∴
又且,所以PB⊥平面EFD.
例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，
求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；
（3）平面DEA ⊥平面ECA。
分析：（1）证明DE ＝DA ，可以通过图形分割，证明△DEF ≌△DBA。（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形。从而证明DM ⊥平面ECA。
证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF。
∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。
∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。
∵ BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，
则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。
又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。
（2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ，
∵ M 是EA 的中点，∴ MN EC。
由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。
∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，
∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA ⊥平面BDM。
（3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，
∴ 平面DEA ⊥平面ECA。
点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。
例3．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，
∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是A1B1 中点．
求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，
会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。
分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置。
证明：（1）如图，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，
∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。
又 D 是A1B1 的中点，∴ C1D ⊥A1B1 。
∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，
∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。
（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 ⊥平面C1DF ，点F 即为所求。
∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，
∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，
∴ AB1 ⊥平面C1DF 。
点评：本题（1）的证明中，证得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。
备用题．如图，边长为2的正方形ABCD中，
（1）点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点，求证：．
（2）当时，求三棱锥的体积．
变式题．如图，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．求证：；
解：在中，，
在中，，
∵，
∴．
∵平面平面，且交线为，
∴平面．
∵平面，
∴．
【反馈演练】
1．下列命题中错误的是 （3） 。
（1）若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线
（2）若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直
（3）若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面
（4）若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
2．设是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若
，且”为真命题的是 ①③④ （填所有正确条件的代号）
①x为直线，y，z为平面 ②x，y，z为平面
③x，y为直线，z为平面 ④x，y为平面，z为直线
⑤x，y，z为直线
3．二面角α—a—β的平面角为120°，在面α内，AB⊥a于B，AB=2在平面β内，CD⊥a
于D，CD=3，BD=1，M是棱a上的一个动点，则AM+CM的最小值为 。
4．已知三棱锥中，顶点在底面的射影是三角形的内心，关于这个三棱锥有三个命题：①侧棱；②侧棱两两垂直；③各侧面与底面所成的二面角相等。其中错误的是 ①② 。
5．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有_____4____个。
6．若的中点到平面的距离为，点到平面的距离为，则点到平面 的距离为_2或14________。
7．三棱锥中，侧棱两两垂直，底面内一点到三个侧面的距离分别是，那么__7______。
8．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，
那么这个球面的表面积是 .
9．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。
命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。
答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等……）
10．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： 。
答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β
11．已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，
D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（1）求证：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比．
解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．
由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．
（2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．
由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．
又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．
（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则
h1∶h2=EP∶AP=2∶3,
故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1
点评：值得注意的是, “截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个,不要犯这种“会而不全”的错误.
12．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（2）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC
为直角三角形？请给出证明.
解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵
又面
∴ 平面SAD，∴又
为直角梯形
(2)当时，为直角三角形 .
,
平面平面.
在中，为SB中点，.
平面平面 为直角三角形。