第6课 三角函数的图像和性质（二）
【考点导读】
1.理解三角函数，，的性质，进一步学会研究形如函数的性质；
2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究．
【基础练习】
1.写出下列函数的定义域：
（1）的定义域是______________________________；
（2）的定义域是____________________．
2．函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________．
3．函数 的最小正周期是_______．
4. 函数y=sin(2x+)的图象关于点_______________对称．
5. 已知函数 在（－，）内是减函数，则的取值范围是______________．
6.关于的函数有以下命题：
（1）对任意的都是非奇非偶函数；
（2）不存在使既是奇函数，又是偶函数；
（3）存在使是奇函数；
（4）对任意的都不是偶函数．
其中一个假命题的序号是 ．因为当= 时，该命题的结论不成立．
解析：（1），；（1），；（4），等．（两个空格全填对时才能得分．其中也可以写成任何整数）
【范例解析】
例1.求下列函数的定义域：
（1）；（2）．
解：（1）即，
故函数的定义域为且
（2）即
故函数的定义域为．
点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集．
例2．求下列函数的单调减区间：
（1）； （2）；
解：（1）因为，故原函数的单调减区间为．
（2）由，得，
又，
所以该函数递减区间为，即．
点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制．
例3．求下列函数的最小正周期：
（1）；（2） ．
解：（1）由函数的最小正周期为，得的周期．
（2）
．
点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解．
例4.已知函数，．
（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．
（II）求函数的单调递增区间．
解：（I）由题设知．
因为是函数图象的一条对称轴，所以，
即（）．
所以．
当为偶数时，，
当为奇数时，．
（II）
．
当，即（）时，
函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．
点评：形如函数的对称轴一般过其最高点或最低点，即在其取到最值时．
【反馈演练】
1．函数的最小正周期为 _____________．
2．设函数，则在上的单调递减区间为___________________．
3．函数的单调递增区间是________________．
4．设函数，则的最小正周期为_______________．
5．函数在上的单调递增区间是_______________．
6．把函数f(x)＝-2tan(x＋)的图象向左平移a(a>0)个单位得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)是奇函数，则a的最小值为___________．
7．已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则对于函数，有下列结论：
①偶函数且它的图象关于点对称； ②偶函数且它的图象关于点对称；
③奇函数且它的图象关于点对称； ④奇函数且它的图象关于点对称.
其中，正确结论的序号有 ④ .
8． 若是偶函数，则有序实数对()可以是 （-1，-1） .(注:只要填满足的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可).
9． 函数的图象为C，如下结论中正确的是 ①②③ (写出所有正确结论
的编号) ．
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③函数)内是增函数；
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
解析：函数的图象为C，
①图象关于直线对称，当k=1时，图象C关于对称；①正确；
②图象C关于点对称，当k=1时，恰好为关于点对称;②正确；
③x∈时，∈(－，)，∴ 函数在区间内是增函数；③正确；
④由的图象向右平移个单位长度可以得，得不到图象C. ④不正确。所以应填①②③．
10．已知函数．
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）若角在第一象限且，求．
解：（Ⅰ） 由得，即．
故的定义域为．
（Ⅱ）由已知条件得．
从而
．
11．已知向量.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.
解：
=.
所以，最小正周期为上单调递增，上单调递减．
12． 设函数图像的一条对称轴是直线．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数在区间上的图像
解：（Ⅰ）的图像的对称轴，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意得
所以函数
（Ⅲ）由
x 0
y －1 0 1 0
故函数
（，0）
，第7课 三角函数的值域与最值
【考点导读】
1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；
2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法．
【基础练习】
1.函数在区间上的最小值为 1 ．
2.函数的最大值等于 ．
3.函数且的值域是___________________．
4.当时，函数的最小值为 4 ．
5.已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是 1 ．
6.若，则的最大值与最小值之和为____2____．
【范例解析】
例1.（1）已知，求的最大值与最小值．
（2）求函数的最大值．
分析：可化为二次函数求最值问题．
解：（1）由已知得：，，则．
，当时，有最小值；当时，有最小值．
（2）设，则，则，当时，有最大值为．
点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．
例2.求函数的最小值．
分析：利用函数的有界性求解．
解法一：原式可化为，得，即，
故，解得或（舍），所以的最小值为．
解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为．
点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．
例3.已知函数，．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
分析：观察角，单角二次型，降次整理为形式．
解：（Ⅰ）
．
又，，即，
．
（Ⅱ），，
且，
，即的取值范围是．
点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．
例4．扇形的半径为1，中心角为，是扇形的内接矩形，问在怎样的位置时，矩形的面积最大，并求出最大值．
分析：引入变量，建立目标函数．
解：连接，设，则，，
．
，
，所以当时，在圆弧中心位置，．
点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键．
【反馈演练】
1．函数的最小值等于____－1_______．
2．已知函数，，直线和它们分别交于M，N，则_________．
3．当时，函数的最小值是______4 _______．
4．函数的最大值为_______，最小值为________.
5．函数的值域为 .
6．已知函数，则的值域是 .
7．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于_________．
8．（1）已知，函数的最大值是_______.
（2）已知，函数的最小值是____3___.
9．在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，_____________ ．
10．已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
解：（Ⅰ）．
因此，函数的最小正周期为．
（Ⅱ）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
11．若函数的最大值为，试确定常数a的值.
解：
因为的最大值为的最大值为1，则
所以
12．已知函数．
（1）若．求使为正值的的集合；
（2）若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围.
解：（1）∵
又 ∴
（2）当时，∴
则，∴
∵方程有实根，得
∴
A
B
O
R
S
P
Q
例4第1课 三角函数的概念
【考点导读】
理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．
角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式及扇形的面积公式＝（为弧长）解决问题.
理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点（不同于坐标原点），设（），则的三个三角函数值定义为：．
从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域为．
掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．
由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记、、、、的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.
掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．
在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题．
【基础练习】
1． 化成的形式是 ．
2．已知为第三象限角，则所在的象限是 ．
3．已知角的终边过点，则= ， = ．
4．的符号为 ．
5．已知角的终边上一点（），且，求，的值．
解：由三角函数定义知，，当时，，；
当时，，．
【范例解析】
例1.如图，，分别是终边落在，位置上的两个角，
且，．
（1）求终边落在阴影部分（含边界）时所有角的集合；
（2）终边落在阴影部分，且在区间时所有角的集合；
（3）求始边在位置上，终边在位置上所有角的集合．
解：（1）；
（2）；
（3），．
点评：三角函数中应注意文字语言与符号语言的转化；第（3）问要注意角的方向．
例2.（1）已知角的终边经过一点，求的值；
（2）已知角的终边在一条直线上，求，的值．
分析：利用三角函数定义求解．
解：（1）由已知，．当时，，，，则；
当时，，，，则．
（2）设点是角的终边上一点，则；
当时，角是第一象限角，则；
当时，角是第三象限角，则．
点评：要注意对参数进行分类讨论．
例3.（1）若，则在第_____________象限．
（2）若角是第二象限角，则，，，，中能确定是正值的有____个．
解：（1）由，得，同号，故在第一，三象限．
（2）由角是第二象限角，即，得，，故仅有为正值．
点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．
例4. 一扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
分析：选取变量，建立目标函数求最值．
解：设扇形的半径为x㎝，则弧长为㎝，故面积为，
当时，面积最大，此时，，，
所以当弧度时，扇形面积最大25．
点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．
【反馈演练】
1．若且则在第_______象限．
2．已知，则点在第________象限．
3．已知角是第二象限，且为其终边上一点，若，则m的值为_______．
4．将时钟的分针拨快，则时针转过的弧度为 ．
5．若，且与终边相同，则= ．
6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________．
7．已知，，则点在第 象限．
8．已知，角的终边与的终边关于直线对称，则角的集合为____________________．
9．设是第二象限角，且满足，则是第_______象限的角．
10．（1）已知扇形的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．
（2）若扇形的面积为8，当扇形的中心角为多少弧度时，该扇形周长最小．
简解：（1）该扇形面积2；
（2），得，当且仅当时取等号．此时，，．
11．已知角的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，终边在直线上，求的值．
解：当角在第一象限时，，，，
则；
当角在第三象限时，，，，
则．
12．已知，且，判断的符号．
解：由已知是第二象限，则，，，，故．
第二或第四象限
正
二
三
三
三第2课 同角三角函数关系及诱导公式
【考点导读】
1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系．
2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用．
【基础练习】
1. tan600°=______．
2. 已知是第四象限角，，则______． www.
3.已知，且，则tan＝______．
4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___．
5.已知，且，则______．
【范例解析】
例1.已知，求，的值．
分析：利用诱导公式结合同角关系，求值．
解：由，得，是第二，三象限角．
若是第二象限角，则，；
若是第三象限角，则，．
点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复．
例2.已知是三角形的内角，若，求的值．
分析：先求出的值，联立方程组求解．
解：由两边平方，得，即．
又是三角形的内角，，．
由，又，得．
联立方程组，解得，得．
点评：由于，因此式子，，三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二．
例3.已知，．
求值：（1）；（2）．
分析：将所求的式子转化为关于的表达式．
解：由，得．
（1）原式=；
（2）原式=．
点评：已知的值，解关于，的齐次式化简，求值问题，常常转化为关于的函数式求解．
例4.（1）设k为整数，化简：．
（2）证明：．
（1）解：当k为偶数时，原式=－1；当k为奇数时，原式=－1；综上，原式=－1．
（2）证明：左边==右边，命题得证．
【反馈演练】
1．______________．
2．已知,则的值为_____．
3．“”是“A=30 ”的必要而不充分条件．
4．设,且，则的取值范围是
5．若，则适合等式的的取值集合是_______________．
6．的值为_______．
7．已知，则________．
8．已知，且，则的值是 ．
9．已知，若，则 ．
10．化简：（1）；
（2）
简解：（1）0； （2）1．
11．（1）已知，且，求的值．
（2）已知，求的值．
解：（1）由，得．
原式=．
（2），
．
12．已知，求
（I）的值； （II）的值．
解：（I）∵ ；所以==．
（II）由，
于是．
－
－ eq \f(1,2)第三章 三角函数
【知识导读】
【方法点拨】
三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：
1．公式多.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.
2．思想方法丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.
3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.
4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.
任意角
的概念
角度制与
弧度制
任意角的
三角函数
弧长与扇形
面积公式
三角函数的
图象和性质
和 角
公 式
差 角
公 式
几个三角
恒等式
倍 角
公 式
同角三角函数关系
诱 导公 式
正弦定理与余弦定理
解斜三角形及其应用
化简、计算、求值
与证明本章自主测试
一．填空题（本大题共14小题，每小题6分，共84分．）
1. 已知___________．
2. 若是方程的解，其中，，则 ．
3. 已知，则=___________．
4. 函数的最小正周期为________．
5.在中，分别是三个内角的对边．若，，则的面积为___________．
6.函数的部分图象如图，则___________．
7.函数的最小正周期与最大值的和为．
8. 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为________．
9.函数()的递减区间是
10.在锐角△ABC中，已知，则的取值范围是 ．
11. 已知的周长为，且，的面积为，则角= ．
12. 已知，，则_______．
13. 下面有5个命题：
①函数的最小正周期是．
②终边在轴上的角的集合是．
③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点．
④把函数的图象向右平移得到的图象．
⑤函数在上是减函数．
其中，真命题的编号是______①④_____（写出所有真命题的编号）．
14. 如图，在中，是边上一点，则
.
二．解答题（本大题共5小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15． 已知，（1）求的值；（2）求的值。
（1）解：
由，有， 解得
（2）解法一：
解法二：由（1），，得
∴ ∴
于是，
代入得
16． 设锐角三角形的内角的对边分别为，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）
．
由为锐角三角形知，，，又，
，，，
所以．由此有，
所以，的取值范围为．
17．设．
（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；（Ⅱ）若锐角满足，求的值．
解：（Ⅰ）
．
故的最大值为；最小正周期．
（Ⅱ）由得，故．
又由得，故，解得．
从而．
18．已知.
解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
即 ①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
故 ②
由①式和②式得 .因此，，由两角和的正切公式
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得
解得
由
由于，
故在第二象限，于是.
从而
以下同解法一.
19．已知函数（其中）
（I）求函数的值域；
（II）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间．
（I）解：
．
由，得，
可知函数的值域为．
（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为，又由，得，即得．
于是有，再由，
解得 ．
所以的单调增区间为
第6题
B
A
C
D
第14题第4课两角和与差及倍角公式（二）
【考点导读】
1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；
2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” ．
【基础练习】
1．写出下列各式的值：
（1）_________； （2）_________；
（3）_________； （4）____1_____．
2．已知则=_________．
3．求值：（1）_______；（2）_________．
4．求值：____1____．
5．已知，则________．
6．若，则_________．
【范例解析】
例1.求值：（1）；
（2）．
分析：切化弦，通分．
解：（1）原式==
．
（2），
又．
原式=．
点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换．
例2.设，，且，，求，．
分析：， ．
解：由，，得，同理，可得
，同理，得．
点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：，等．
例3.若，，求的值．
分析一：．
解法一：，，
又，，．
，，．
所以，原式=．
分析二：．
解法二：原式=
又，
所以，原式．
点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路．
例4.已知<<<．
(Ⅰ)求的值；
（Ⅱ）求.
分析：.
解：（Ⅰ）由，得
∴，于是
（Ⅱ）由，得
又∵，∴
由得：
所以.
点评：求角一般先求角的某一三角函数值以此来确定角，但根据三角函数值定角往往不唯一，要注意利用三角函数值来缩小角的范围.
【反馈演练】
1．设，若，则=__________．
2．已知tan =2，则tanα的值为_______，tan的值为___________ ．
3．若，则=___________．
4．若，则 ．
5．求值：_________．
6．已知，sin()=－ sin则=__________．
7．设为第四象限的角，若，则______．
8．若，，，，则________.
9．已知，，则_____________.
10．已知．求的值
解：
又
从而，
11．已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
解：(Ⅰ)由得，即，
又，所以为所求．
（Ⅱ）=
===．
12．已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A，B，C的大小．
解法一： 由得
所以即
因为所以，从而
由知 从而.
由
即
由此得所以
解法二：由
由，，所以即
由得
所以
即 因为，所以
由从而，知B+2C=不合要求.
再由，得 所以
－第3课 两角和与差及倍角公式（一）
【考点导读】
1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；
2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；
3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；
4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”．
【基础练习】
1. ___________．
2. 化简_____________．
3. 若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝___________ ．
4.化简：___________ ．
5.化简：____1___．
6.给出下列四个命题：
①存在这样的，，使得；
②不存在无穷多个，，使得；
③对于任意的，，都有；
④不存在这样的，，使得．
其中假命题的序号有______②_______．
【范例解析】
例1.化简：（1）；
（2）．
（1）分析一：降次，切化弦．
解法一：原式=．
分析二：变“复角”为“单角”．
解法二：原式．
（2）原式=
，，，原式=．
点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等．
例2.化简：．
分析一：从“角”入手，“复角”变“单角”．
解法一：原式=
．
分析二：从“名”入手，同化余弦式．
解法二：原式=
分析三：从“形”入手，平方和关系．
解法三：原式=
分析四：从幂入手，降次扩角．
解法四：原式=
点评：三角函数的化简，要认真分析式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系，认真寻求解题的突破口．
例3.求证：．
分析：左右同时化简．
证明：原式等价于．
左边=右边．
点评：恒等式的证明，一般由繁到简或左右同时化简，左右归一．
例4.已知．求证：．
分析：切化弦，变角．
证明：要证
只要证
即证
只需证
由已知得：．
故原命题得证．
点评：证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论的差异，消除差异．本题利用分析法，运用角的变换消除角的差异入手求证．
【反馈演练】
1．化简．
2．若，化简_________．
3．若0＜α＜β＜，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则与的大小关系是_________．
4．若，则的取值范围是___________．
5．若，则___8___．
6．化简：________．
7．已知、均为锐角，且，则= 1 .
8．化简：_________．
9．对任意的锐角α，β，下列不等关系中
①sin(α+β)>sinα+sinβ； ②sin(α+β)>cosα+cosβ；
③cos(α+β)其中正确结论的序号是____④______．
10．化简：．
解：原式=．
11．求证：．
证明：左边==右边．
12．化简：．
解：原式=
．
3＋cos2x第5课 三角函数的图像和性质（一）
【考点导读】
1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在，正切函数在上的性质；
2.了解函数的实际意义，能画出的图像；
3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
【基础练习】
1. 已知简谐运动的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期_____6____；初相__________．
2. 三角方程2sin(－x)=1的解集为_______________________．
3. 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为
______________________．
4.下列函数图像：
其中是函数在区间上的简图的序号是__①__．
5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移__________个单位．
【范例解析】
例1.已知函数．
（Ⅰ）用五点法画出函数在区间上的图象，长度为一个周期；
（Ⅱ）说明的图像可由的图像经过怎样变换而得到．
分析：化为形式．
解：（I）由
．
列表，取点，描图：
1 1 1
故函数在区间上的图象是：
（Ⅱ）解法一：把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，再把的图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像．
解法二：把图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像，再把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像．
例2.已知正弦函数的图像如右图所示．
（1）求此函数的解析式；
（2）求与图像关于直线对称的曲线的解析式；
（3）作出函数的图像的简图．
分析：识别图像，抓住关键点．
解：（1）由图知，，，，即．
将，代入，得，解得，即．
（2）设函数图像上任一点为，与它关于直线对称的对称点为，
得解得代入中，得．
（3），简图如图所示．
点评：由图像求解析式，比较容易求解，困难的是待定系数求和，通常利用周期确定，代入最高点或最低点求．
例3.右图为游览车的示意图，该游览车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转到一周，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离为．
（1）求与间关系的函数解析式；
（2）设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求与间关系的函数解析式．
分析：理解题意，建立函数关系式．
解：（1）由已知作图，过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM
角ON于M点，当时，，
，
经验证当，上述关系也成立．
综上，．
（2）因为点A在圆O上逆时针运动的速度是，所以t秒转过的弧度数为．
，．
点评：本题关键是理解题意，抽象出具体的三角函数模型，再运用所学三角知识解决，回答实际问题．
【反馈演练】
1．为了得到函数的图像，只需把函数，的图像上所有的点
①向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；
②向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；
③向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；
④向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．
其中，正确的序号有_____③______．
2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移________个单位长度．
3．若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则__2____；__________．
4．在内，使成立的取值范围为____________________．
5．下列函数：
①； ②；
③； ④．
其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．
6．设函数（其中），且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是．则_________．
7．要得到的图像，只要把的图像向____左___平移_________个单位即可．
8．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是__________．
9．如图，函数，，(其中)的图象与
y轴交于点（0，1）．设P是图象上的最高点，M，N是图象与x轴的交点，
则与的夹角余弦值为_________．
10．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段时间的函数解析式．
解：（1）由图示，这段时间的最大温差是℃
（2）图中从6时到14时的图象是函数的半个周期
∴，解得
由图示，
这时，
将代入上式，可取
综上，所求的解析式为（）
11．已知函数f(x)=A(A>0，>0，0<<)，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．
（1）求；
（2）计算f(1)+f(2)+…+f(2 008).
解：（１）由题意得，，又，，代入点（1，2），得=；
（２）由（1）得：，
．
12．如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，
当，时，求的值．
解：（1）将，代入函数得，
因为，所以．
又因为该函数的最小正周期为，所以，
因此．
（2）因为点，是的中点，，
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，所以．
因为，所以，
从而得或．
即或．
第3题
①
②
③
④
－2
2
x=8
x
y
O
2
4
x
y
O
－4
12
h
O
B
A
M
N
第5题
第9题
第10题
A
第12题第８课 解三角形
【考点导读】
1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；
2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．
【基础练习】
1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ .
2．在中，若，则的大小是______________.
3．在中，若，，，则 ．
4．在△ABC中，若，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．
5．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为 ．
6．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边.如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b= _____．
【范例解析】
在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知，，．
（1）求的值；（2）求的值．
分析：利用转化为边的关系．
解：（1）由．
（2）由得．由余弦定理
得： ，解得：或，
若，则，得，即矛盾，故．
点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．
例2.在三角形ABC中，已知，试判断该三角形的形状．
分析一：边化角
解法一：由已知得：，
化简得，
由正弦定理得：，
即，
又，，．
又，或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
分析二：角化边
解法二：同解法一得：，
由正余弦定理得：，
整理得：，即或，
即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．
例3.如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB、AC上的点，
线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝（）．
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；
（2）求的最大值与最小值．
分析：利用正弦定理建立目标函数．
解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，
所以AG＝，MAG＝，
由正弦定理得
则S1＝GMGAsin＝，同理可求得S2＝．
（2）＝＝72（3＋）
因为，所以当＝或＝时，y取得最大值ymax＝240；
当＝时，y取得最小值ymin＝216．
点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值．
例4.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=，∠ABC=.
（1）证明：；
（2）若AC=DC，求．
分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系.
（1）证明：，，，
（2）解：AC=DC，.
，，.
点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出的值.
【反馈演练】
1．在中，则BC =_____________．
2．的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_____．
3．已知顶点的直角坐标分别为，，．若是钝角，则的取值范围 ___________ ．
4．已知的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ．
5．在中，若，，则的形状是____等边___三角形．
6．若的内角满足，则= ．
7． 的三个内角为，则的最大值为 ．
8．在中，已知，给出以下四个论断：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
其中正确的序号有______②④_____．
9．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，给出下列结论：
①和都是锐角三角形；
②和都是钝角三角形；
③是钝角三角形，是锐角三角形；
④是锐角三角形，是钝角三角形．
其中，正确结论的序号有____④_____．
10．在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．
解：（Ⅰ）在中，，由正弦定理，
．所以．
（Ⅱ）因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，
，
．
．
11．在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．
解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知，
． 因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
12．在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．
解：（Ⅰ），．
又，．
（Ⅱ），边最大，即．
又，角最小，边为最小边．
由且，
得．由得：．
所以，最小边．
A
B
C
N
M
G
D
例3
B
D
C
α
β
A
例4第9课 解三角形的应用
【考点导读】
1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力．
【基础练习】
1．在200高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________．
2．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为_______________ km．
3．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km．
4．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离之间的大小关系为_______________．
5．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于B，D，已知为边长等于的正三角形，当目标出现于C时，测得，，求炮击目标的距离
解：在中，由正弦定理得：
∴
在中，由余弦定理得：
∴
答：线段的长为．
【范例解析】
例1.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
分析：构造三角形，根据正弦定理或余弦定理解决问题．
解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，．
答：塔高为．
点评：有关测量问题，构造三角形结合正弦定理或余弦定理求解．
例2.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，
乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船
位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，
当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西
方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．
解法一：如图(2)，连结，由已知，
，，
又，是等边三角形，
，
由已知，，，
在中，由余弦定理，
．
．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
解法二：如图（3），连结，
由已知，，，
，
．
在中，由余弦定理，
．
．
由正弦定理，
，即，．
在中，由已知，由余弦定理，
．
，乙船的速度的大小为（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程．
例3.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风
中心位于城市O（如图）的东偏南（）方向
300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北
方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，
并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始
受到台风的侵袭？
分析：解决本题的关键是读懂题目，弄清题目条件，
设出时间，找出三角形，恰当选取正弦定理或余弦定理求解．
解法一：
如图(1)，设经过t小时后台风中心为Q，此时台风
侵袭的圆形区域半径为．若在t时刻城市O
受到台风的侵袭，则．
在中，由余弦定理得：．
又，，，
故．
因此，，即，解得．
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
解法二：如图（2）建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻t时台风中心Q（）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，
则有
即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
点评：本题的设计抓住“台风中心的运动”以及“运动过程中台风半径的匀速扩张”两个主要特点.解法二是建立坐标系，转化为点和圆的位置关系求解.
【反馈演练】
1．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距____________m．
2．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为，现要将倾斜角改为，则坡底要伸长____1___km．
3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________海里．
4．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两边和，且，则第三条边的最小值是____________cm．
5．设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ A ）
A． B．
C． D．
6．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础
设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．
如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，
那么的值等于 ．
7．发电机发出的三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数，，，，则 0 ．
8．某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将两点的距离表示成的函数，则 ，其中．
9．如图，某人在高出海面600m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为，航标B在南偏东，俯角为，则这两个航标间的距离为___600___m．
10．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选相距的C、D两点，并测得，
，，（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距
离．
解：在中，，，
得，则．
在中，，，，
由正弦定理得：．
在中，由余弦定理，
解得．
答：两目标A，B之间的距离．
11．在海岸A处，发现北偏东方向，距离A处海里的B处有一走私船，在A处北偏西方向，距离A处2海里C处的缉私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/小时的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向能最快追上走私船？
解：设缉私艇用t小时在D处追上走私船，
则有，，
在中，，，，
由余弦定理得：，
在中，由正弦定理：，
，即BC与正北方向垂直，
在中，由正弦定理：，
答：缉私艇沿东偏北方向能最快追上走私船．
12．某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？
解：设，，连结BD．则在中，
设
则
等号成立时
答：当时，建造这个支架的成本最低．
2或
A
B
C
D
第5题
例1
北
乙
甲
例2（1）
北
甲
乙
例2（2）
北
乙
甲
例2（3）
O
北
东O
线
岸
O
Q
r(t)
P
海
例3(1)
O
北
东O
y
线
岸
O
x
Q
r(t)
P
海
例3（2）
第6题
P
C
B
A
第9题
C
D
B
A
第10题
C
A
B
D
第11题
A
C
D
地面
第12题
B
