考前最后一轮基础知识巩固之第三章 第1课 三角函数的概念

第1课 三角函数的概念
【考点导读】
理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．
　　角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式及扇形的面积公式＝（为弧长）解决问题.
理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点（不同于坐标原点），设（），则的三个三角函数值定义为：．
从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域为．
掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．
由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记、、、、的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.
掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．
　　在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题．
【基础练习】
1． 化成的形式是　　　 　　．
2．已知为第三象限角，则所在的象限是 ．
3．已知角的终边过点，则=　　　， =　　　　 ．
4．的符号为 ．
5．已知角的终边上一点（），且，求，的值．
解：由三角函数定义知，，当时，，；
当时，，．
【范例解析】
例1.如图，，分别是终边落在，位置上的两个角，
且，．
（1）求终边落在阴影部分（含边界）时所有角的集合；
（2）终边落在阴影部分，且在区间时所有角的集合；
（3）求始边在位置上，终边在位置上所有角的集合．
解：（1）；
（2）；
（3），．
点评：三角函数中应注意文字语言与符号语言的转化；第（3）问要注意角的方向．
例2.（1）已知角的终边经过一点，求的值；
（2）已知角的终边在一条直线上，求，的值．
分析：利用三角函数定义求解．
解：（1）由已知，．当时，，，，则；
当时，，，，则．
（2）设点是角的终边上一点，则；
当时，角是第一象限角，则；
当时，角是第三象限角，则．
点评：要注意对参数进行分类讨论．
例3.（1）若，则在第_____________象限．
（2）若角是第二象限角，则，，，，中能确定是正值的有____个．
解：（1）由，得，同号，故在第一，三象限．
（2）由角是第二象限角，即，得，，故仅有为正值．
点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．
例4. 一扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
分析：选取变量，建立目标函数求最值．
解：设扇形的半径为x㎝，则弧长为㎝，故面积为，
当时，面积最大，此时，，，
所以当弧度时，扇形面积最大25．
点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．
【反馈演练】
1．若且则在第_______象限．
2．已知，则点在第________象限．
3．已知角是第二象限，且为其终边上一点，若，则m的值为_______．
4．将时钟的分针拨快，则时针转过的弧度为　　　　　　．
5．若，且与终边相同，则= ．
6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________．
7．已知，，则点在第　　　　 象限．
8．已知，角的终边与的终边关于直线对称，则角的集合为____________________．
9．设是第二象限角，且满足，则是第_______象限的角．
10．（1）已知扇形的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．
（2）若扇形的面积为8，当扇形的中心角为多少弧度时，该扇形周长最小．
简解：（1）该扇形面积2；
（2），得，当且仅当时取等号．此时，，．
11．已知角的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，终边在直线上，求的值．
解：当角在第一象限时，，，，
则；
当角在第三象限时，，，，
则．
12．已知，且，判断的符号．
解：由已知是第二象限，则，，，，故．
第二或第四象限
正
二
三
三
三