第7课 三角函数的值域与最值
【考点导读】
1.掌握三角函数的值域与最值的求法,能运用三角函数最值解决实际问题;
2.求三角函数值域与最值的常用方法:(1)化为一个角的同名三角函数形式,利用函数的有界性或单调性求解;(2)化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式,利用配方法或图像法求解;(3)借助直线的斜率的关系用数形结合求解;(4)换元法.
【基础练习】
1.函数在区间上的最小值为 1 .
2.函数的最大值等于 .
3.函数且的值域是___________________.
4.当时,函数的最小值为 4 .
5.已知k<-4,则函数y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是 1 .
6.若,则的最大值与最小值之和为____2____.
【范例解析】
例1.(1)已知,求的最大值与最小值.
(2)求函数的最大值.
分析:可化为二次函数求最值问题.
解:(1)由已知得:,,则.
,当时,有最小值;当时,有最小值.
(2)设,则,则,当时,有最大值为.
点评:第(1)小题利用消元法,第(2)小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题;但要注意变量的取值范围.
例2.求函数的最小值.
分析:利用函数的有界性求解.
解法一:原式可化为,得,即,
故,解得或(舍),所以的最小值为.
解法二:表示的是点与连线的斜率,其中点B在左半圆上,由图像知,当AB与半圆相切时,最小,此时,所以的最小值为.
点评:解法一利用三角函数的有界性求解;解法二从结构出发利用斜率公式,结合图像求解.
例3.已知函数,.
(I)求的最大值和最小值;
(II)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
分析:观察角,单角二次型,降次整理为形式.
解:(Ⅰ)
.
又,,即,
.
(Ⅱ),,
且,
,即的取值范围是.
点评:第(Ⅱ)问属于恒成立问题,可以先去绝对值,利用参数分离转化为求最值问题.本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识,以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力.
例4.扇形的半径为1,中心角为,是扇形的内接矩形,问在怎样的位置时,矩形的面积最大,并求出最大值.
分析:引入变量,建立目标函数.
解:连接,设,则,,
.
,
,所以当时,在圆弧中心位置,.
点评:合理引进参数,利用已知条件,结合图形建立面积与参数之间的函数关系式,这是解题的关键.
【反馈演练】
1.函数的最小值等于____-1_______.
2.已知函数,,直线和它们分别交于M,N,则_________.
3.当时,函数的最小值是______4 _______.
4.函数的最大值为_______,最小值为________.
5.函数的值域为 .
6.已知函数,则的值域是 .
7.已知函数在区间上的最小值是,则的最小值等于_________.
8.(1)已知,函数的最大值是_______.
(2)已知,函数的最小值是____3___.
9.在△OAB中,O为坐标原点,,则当△OAB的面积达最大值时,_____________ .
10.已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)求函数在区间上的最小值和最大值.
解:(Ⅰ).
因此,函数的最小正周期为.
(Ⅱ)因为在区间上为增函数,在区间上为减函数,又,,,
故函数在区间上的最大值为,最小值为.
11.若函数的最大值为,试确定常数a的值.
解:
因为的最大值为的最大值为1,则
所以
12.已知函数.
(1)若.求使为正值的的集合;
(2)若关于的方程在内有实根,求实数的取值范围.
解:(1)∵
又 ∴
(2)当时,∴
则,∴
∵方程有实根,得
∴
A
B
O
R
S
P
Q
例4