考前最后一轮基础知识巩固之第三章 第7课 三角函数的值域与最值

第7课 三角函数的值域与最值
【考点导读】
1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；
2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法．
【基础练习】
1.函数在区间上的最小值为 1 ．
2.函数的最大值等于 ．
3.函数且的值域是___________________．
4.当时，函数的最小值为 4 ．
5.已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是 1 ．
6.若，则的最大值与最小值之和为____2____．
【范例解析】
例1.（1）已知，求的最大值与最小值．
（2）求函数的最大值．
分析：可化为二次函数求最值问题．
解：（1）由已知得：，，则．
，当时，有最小值；当时，有最小值．
（2）设，则，则，当时，有最大值为．
点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．
例2.求函数的最小值．
分析：利用函数的有界性求解．
解法一：原式可化为，得，即，
故，解得或（舍），所以的最小值为．
解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为．
点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．
例3.已知函数，．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
分析：观察角，单角二次型，降次整理为形式．
解：（Ⅰ）
．
又，，即，
．
（Ⅱ），，
且，
，即的取值范围是．
点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．
例4．扇形的半径为1，中心角为，是扇形的内接矩形，问在怎样的位置时，矩形的面积最大，并求出最大值．
分析：引入变量，建立目标函数．
解：连接，设，则，，
．
，
，所以当时，在圆弧中心位置，．
点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键．
【反馈演练】
1．函数的最小值等于____－1_______．
2．已知函数，，直线和它们分别交于M，N，则_________．
3．当时，函数的最小值是______4 _______．
4．函数的最大值为_______，最小值为________.
5．函数的值域为 .
6．已知函数，则的值域是 .
7．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于_________．
8．（1）已知，函数的最大值是_______.
（2）已知，函数的最小值是____3___.
9．在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，_____________ ．
10．已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
解：（Ⅰ）．
因此，函数的最小正周期为．
（Ⅱ）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
11．若函数的最大值为，试确定常数a的值.
解：
因为的最大值为的最大值为1，则
所以
12．已知函数．
（1）若．求使为正值的的集合；
（2）若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围.
解：（1）∵
又 ∴
（2）当时，∴
则，∴
∵方程有实根，得
∴
A
B
O
R
S
P
Q
例4