考前最后一轮基础知识巩固之第三章 第8课 解三角形

第８课 解三角形
【考点导读】
1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；
2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．
【基础练习】
1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝　　　　.
2．在中，若，则的大小是______________.
3．在中，若，，，则 ．
4．在△ABC中，若，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．
5．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为 ．
6．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边.如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b= _____．
【范例解析】
在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知，，．
（1）求的值；（2）求的值．
分析：利用转化为边的关系．
解：（1）由．
（2）由得．由余弦定理
得： ，解得：或，
若，则，得，即矛盾，故．
点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．
例2.在三角形ABC中，已知，试判断该三角形的形状．
分析一：边化角
解法一：由已知得：，
化简得，
由正弦定理得：，
即，
又，，．
又，或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
分析二：角化边
解法二：同解法一得：，
由正余弦定理得：，
整理得：，即或，
即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．
例3.如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB、AC上的点，
线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝（）．
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；
（2）求的最大值与最小值．
分析：利用正弦定理建立目标函数．
解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，
所以AG＝，MAG＝，
由正弦定理得
则S1＝GMGAsin＝，同理可求得S2＝．
（2）＝＝72（3＋）
因为，所以当＝或＝时，y取得最大值ymax＝240；
当＝时，y取得最小值ymin＝216．
点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值．
例4.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=，∠ABC=.
（1）证明：；
（2）若AC=DC，求．
分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系.
（1）证明：，，，
（2）解：AC=DC，.
，，.
点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出的值.
【反馈演练】
1．在中，则BC =_____________．
2．的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_____．
3．已知顶点的直角坐标分别为，，．若是钝角，则的取值范围 ___________ ．
4．已知的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ．
5．在中，若，，则的形状是____等边___三角形．
6．若的内角满足，则= ．
7． 的三个内角为，则的最大值为 ．
8．在中，已知，给出以下四个论断：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
其中正确的序号有______②④_____．
9．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，给出下列结论：
①和都是锐角三角形；
②和都是钝角三角形；
③是钝角三角形，是锐角三角形；
④是锐角三角形，是钝角三角形．
其中，正确结论的序号有____④_____．
10．在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．
解：（Ⅰ）在中，，由正弦定理，
．所以．
（Ⅱ）因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，
，
．
．
11．在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．
解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知，
． 因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
12．在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．
解：（Ⅰ），．
又，．
（Ⅱ），边最大，即．
又，角最小，边为最小边．
由且，
得．由得：．
所以，最小边．
A
B
C
N
M
G
D
例3
B
D
C
α
β
A
例4