考前最后一轮基础知识巩固之第三章 第9课 解三角形的应用

第9课 解三角形的应用
【考点导读】
1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力．
【基础练习】
1．在200高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________．
2．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为_______________ km．
3．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km．
4．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离之间的大小关系为_______________．
5．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于B，D，已知为边长等于的正三角形，当目标出现于C时，测得，，求炮击目标的距离
解：在中，由正弦定理得：
∴
在中，由余弦定理得：
∴
答：线段的长为．
【范例解析】
例1.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
分析：构造三角形，根据正弦定理或余弦定理解决问题．
解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，．
答：塔高为．
点评：有关测量问题，构造三角形结合正弦定理或余弦定理求解．
例2.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，
乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船
位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，
当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西
方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．
解法一：如图(2)，连结，由已知，
，，
又，是等边三角形，
，
由已知，，，
在中，由余弦定理，
．
．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
解法二：如图（3），连结，
由已知，，，
，
．
在中，由余弦定理，
．
．
由正弦定理，
，即，．
在中，由已知，由余弦定理，
．
，乙船的速度的大小为（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程．
例3.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风
中心位于城市O（如图）的东偏南（）方向
300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北
方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，
并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始
受到台风的侵袭？
分析：解决本题的关键是读懂题目，弄清题目条件，
设出时间，找出三角形，恰当选取正弦定理或余弦定理求解．
解法一：
如图(1)，设经过t小时后台风中心为Q，此时台风
侵袭的圆形区域半径为．若在t时刻城市O
受到台风的侵袭，则．
在中，由余弦定理得：．
又，，，
故．
因此，，即，解得．
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
解法二：如图（2）建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻t时台风中心Q（）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，
则有
即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
点评：本题的设计抓住“台风中心的运动”以及“运动过程中台风半径的匀速扩张”两个主要特点.解法二是建立坐标系，转化为点和圆的位置关系求解.
【反馈演练】
1．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距____________m．
2．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为，现要将倾斜角改为，则坡底要伸长____1___km．
3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________海里．
4．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两边和，且，则第三条边的最小值是____________cm．
5．设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ A ）
A． B．
C． D．
6．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础
设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．
如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，
那么的值等于 ．
7．发电机发出的三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数，，，，则　　0　　．
8．某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将两点的距离表示成的函数，则　　　　，其中．
9．如图，某人在高出海面600m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为，航标B在南偏东，俯角为，则这两个航标间的距离为___600___m．
10．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选相距的C、D两点，并测得，
，，（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距
离．
解：在中，，，
得，则．
在中，，，，
由正弦定理得：．
在中，由余弦定理，
解得．
答：两目标A，B之间的距离．
11．在海岸A处，发现北偏东方向，距离A处海里的B处有一走私船，在A处北偏西方向，距离A处2海里C处的缉私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/小时的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向能最快追上走私船？
解：设缉私艇用t小时在D处追上走私船，
则有，，
在中，，，，
由余弦定理得：，
在中，由正弦定理：，
，即BC与正北方向垂直，
在中，由正弦定理：，
答：缉私艇沿东偏北方向能最快追上走私船．
12．某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？
解：设，，连结BD．则在中，
设
则
等号成立时
答：当时，建造这个支架的成本最低．
2或
A
B
C
D
第5题
例1
北
乙
甲
例2（1）
北
甲
乙
例2（2）
北
乙
甲
例2（3）
O
北
东O
线
岸
O
Q
r(t)
P
海
例3(1)
O
北
东O
y
线
岸
O
x
Q
r(t)
P
海
例3（2）
第6题
P
C
B
A
第9题
C
D
B
A
第10题
C
A
B
D
第11题
A
C
D
地面
第12题
B