第四章 平面向量与复数
【知识图解】
Ⅰ.平面向量知识结构表
Ⅱ.复数的知识结构表
【方法点拨】
由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。
复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.
平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.
向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.
要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.
向量的加、减法
向量的概念
向量
向量的运算
两个向量垂直的充要条件件件
两个向量平行的充要条件件件
向量的数量积
实数与向量的积
向量的运用
数系的扩充与
复数的引入
复数的概念
复数的运算
数系的扩充第4课 向量综合应用
【考点导读】
能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不等式、三角函数、数列等知识的综合问题.
能从实际问题中提炼概括数学模型,了解向量知识的实际应用.
【基础练习】
1.已知a＝（5，4），b＝（3，2），则与2a－3b平行的单位向量为
2.已知＝1，＝1，a与b的夹角为60°，x＝2a－b,y＝3b－a，则x与y的夹角的余弦值为
3.已知平面上三点A、B、C满足＝3, ＝4, ＝5,则的值等于－25
4. 在△ABC中,角A，B，C的对边依次为a，b，c，且A，B，C依次成等差数列，若·＝－，且b＝,则a+c的值为
5.已知是两个互相垂直的单位向量, 且,,,则对任意的正实数,的最小值是
【范例导析】
例1.已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).
(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f（t）；
(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间。
分析:利用向量知识转化为函数问题求解.
解:（1）法一：由题意知x＝(,),
y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y
故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0。
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.
法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴k ＝f (t) ＝t2－,
令k ＜0得－1＜t＜1；令k ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
点拨:第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。
例2.已知两点M(－1，0)， N(1 , 0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列.
（1）点P 的轨迹是什么曲线？
（2）若点P坐标为（x0、y0），记θ为与的夹角，求tanθ.
分析；问题（1）是简单的求轨迹问题,可由题目条件直接求得,问题（2）涉及向量的夹角,可以联系向量的夹角公式解决.
解:（1）设点P（x , y），分别计算出·，·，·，
由题意，可得点P的轨迹方程是
故点P 的轨迹是以原点为圆心、为半径的右半圆。
(2) 由（1）知，，可得cosθ＝，
又x0,∴即,
于是sinθ＝＝＝＝，
点拨: 本题依托向量把解析几何、三角、数列等知识很自然地融于一体,既考查了向量的长度、角度、数量积，又考查了轨迹方程、等差数列及同角三角函数间关系等重点知识，可谓一举多得。
例3. 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线PQ的方程；
（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明
分析：本题需将向量的运算和解析几何的基本思想方法综合起来解题
解： （1）由题意，可设椭圆的方程为
由已知得
解得
所以椭圆的方程为，离心率
（2）解：由（1）可得A（3，0）
设直线PQ的方程为由方程组
得
依题意，得
设，则
， ①
②
由直线PQ的方程得于是
③
∵，∴ ④
由①②③④得，从而
所以直线PQ的方程为或
（3）证明：由已知得方程组
注意，解得
因，故
而，所以
点拨: 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力
例4.已知两个力（单位：牛）与的夹角为，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动到点（单位：米）
求；
求与的合力对质点所做的功
分析:理解向量及向量数量积的物理意义,将物理中的求力和功的问题转化为向量问题解决.
点拨:学习向量要了解向量的实际背景,并能用向量的知识解决方一些简单的实际问题.
反馈练习：
1.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C满足，其中，∈R且+=1，则点C的轨迹方程为x＋2y－5=0
2.已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是
3. 已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|+|=|-|,其中O为原点,则实数a的值为2或-2
4.已知向量a=()，向量b=()，则|2a－b|的最大值是 4
5.已知点A(,1)、B(0,0)、C(,0),设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,若=λ,则λ等于
6.已知直线与轴分别相交于点、,( 、分别是与轴正半轴同方向的单位向量), 则直线的方程是
7.已知，其中，则的最小值是
8.是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ()，，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心（填外心、内心、重心、垂心）
9.已知向量a=(2cosα,2cosβ),b=(3cosβ,3sinβ),若a与b的夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是相离
10．如图， ，
（1）若∥，求x与y间的关系；
（2）在（1）的条件下，若有，求x,y的值及四边形ABCD的面积.
解（1）又∥
①
（2）由⊥，得（x－2）(6＋x)＋(y－3)·(y＋1)＝0,②
即x2＋y2＋4x－2y－15＝0 由①，②得或
11.设的模为1，且互相垂直，若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
解：∵，故，
解之 ．
另有，解之，
∴．
12.某人骑车以aｋｍ／ｈ的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来；而当速度为2akm／h时，感到风是从东北方向吹来，试求实际的风速和风向.
解：设此人行驶的速度为a，则｜a｜＝a，且在无风时，此人感到的风速为－a，又设实际风速为v，
由题意知，此人所感到的从正北方向吹来的风速向量为v－a.?
如图所示：?
令＝－a，＝－2 a
由于＋＝，故PA＝v－a
又＋＝，故PB＝v－2 a，
即为此人的速度是原来的2倍时所感到的风速，?
由题意得，∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而△ABC为等腰三角形，
∴PB＝PO，∠POA＝∠APO＝45°?
∴PO＝ a，｜ｖ｜＝ a (km／h)?
答：实际吹来的风是风速为 a km／h的西北风.
第10题
第12题本章测试
一.填空:
1．设a是实数，且是实数，则1
2.设点，,若点在直线上，且.则点的坐标
为或
3.已知向量，，且，则x为____4_________
4.已知向量，若与垂直，则2
5.若向量的夹角为，，则 2 .
6.复数等于
7. 向量，，若与平行，则等于
8.与向量，夹角相等的单位向量的坐标
9.如图，在中，是边上一点，则.
10.设，已知两个向量，
，则向量长度的最大值是
11.若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为
12.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 2
13.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m = 1
14.虚数（x－2）+ yi其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是
二、解答题:
15. 已知,⑴ 设.⑵ 如果求实数的值.
解:⑴ ∵, ∴.
⑵
由已知得 .
16.已知,,当为何值时，
（1）与垂直？
（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？
解：
（1），
得
（2），得
此时，所以方向相反
17.设O,A,B,C为平面内四点， ，，求.
解：由可得
＝>即①
同理可得 ②， ③
④－①得：，同理得，，
∴＝
18.如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明
(1)PA=EF (2)PA⊥EF
证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，
｜｜=λ,则A(0，1)，P(λ，λ)，E(1，λ)，F(λ，0)
∴=(－λ,1－λ), =(λ－1,－ λ)
(1)｜｜2=(－λ)2+(1－λ)2=λ2－λ+1
｜｜2=(λ－1)2+(－λ)2=λ2－λ+1
∴｜｜2=｜｜2,故PA=EF
(2) ·=(－λ)(λ－1)+(1－λ)(－λ)=0
∴⊥ ∴PA⊥EF、
19.已知之间有关系，其中k＞0,
（1）用k表示 ；②求的最小值，并求此时夹角的大小。
解：①:∵ ∴
即
∴
∵，所以
∴
②: ∵,∴
∴的最小值为
又∵ ∴
∴
B
A
C
D
第9题
第12题
第18题第5课 复数的概念和运算
【考点导读】
1.了解数系的扩充的基本思想,了解引入复数的必要性.
2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数表示和几何意义.
【基础练习】
1.设、、、，若为实数，则
2.复数的共轭复数是
3.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于第二象限
4.复数
5.若复数满足方程，则
【范例导析】
例1.m取何实数时，复数（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？
分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数．由于所给复数z已写成标准形式，即，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题．
解：（1）当即
∴时，z是实数．
（2）当即
∴当且时，z是虚数．
（3）当即
∴当或时，z是纯虚数．
点拨：研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点．如本题易忽略分母不能为0的条件，丢掉，导致解答出错．
例2.在复数范围内解方程(i为虚数单位)
分析:可z=x+yi(x、y∈R),代入求解.
解:原方程化简为,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=－1,解得x=－且y=±,
∴原方程的解是z=-±i.
点拨：复数问题实数化是解决复数问题的基本方法,在解题中应引起重视.
例3.设复数z满足4z+2=3+i，ω=sinθ－icosθ（θ∈R）.求z的值和|z－ω|的取值范围.
分析:根据共轭复数的概念和复数的代数运算求出复数z,再代入写出|z－ω|的表达式求其范围.
.解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a－bi，代入4z+2=3+i
得4（a+bi）+2（a－bi）=3+i.
∴.∴z=i.
|z－ω|=|i－（sinθ－icosθ）|
=
∵－1≤sin（θ－）≤1，∴0≤2－2sin（θ－）≤4.
∴0≤|z－ω|≤2.
点拨：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.
例4.设z是虚数，w=z+是实数，且－1＜ω＜2.
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设u=，求证：u为纯虚数；
（3）求w－u2的最小值.
分析:本题题（3）利用基本不等式求最值较方便.
解：（1）设z=a+bi，a、b∈R，b≠0
则w=a+bi+
因为w是实数，b≠0，所以a2＋b2=1，
即|z|=1.
于是w=2a，－1＜w=2a＜2，－＜a＜1，
所以z的实部的取值范围是（－，1）.
（2）.
因为a∈（－，1），b≠0，所以u为纯虚数.
（3）
.
因为a∈（－，1），所以a+1＞0，
故w－u2≥2·2－3=4－3=1.
当a+1=，即a=0时，w－u2取得最小值1.
点拨: 本题综合性较强,在解题过程中综合运用了复数的相关概念和运算使问题得以解决.
反馈练习：
1.如果复数是实数，则实数
2.已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝
3.若复数Z=，则Z+Z+1+i的值为0
4.已知,则等于
5.复数，且，若是实数，则有序实数对可以是__（2,1）_（写出一个有序实数对即可）
6.是虚数单位，（用的形式表示，）
7.设、为实数，且，则+=4.
8.如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，那么|z+i+1|的最小值是1
9.若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ -1+i ．
10.已知，求的值.
解：∵，
，∴
11.已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b＝（a＋2z）2．
解：∵z＝1＋i，
∴az＋2b＝（a＋2b）＋（a－2b）i，
（a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i，
因为a，b都是实数，所以由az＋2b＝（a＋2z）2得
两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，
解得a1＝－2，a2＝－4，
对应得b1＝－1，b2＝2．
所以，所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2．
12.已知z、w为复数，（1＋3i）z为纯虚数，w＝，且|w|＝5，求w．
解法一：设z＝a＋bi（a，b∈R），则（1＋3i）z＝a－3b＋（3a＋b）i．
由题意，得a＝3b≠0．
∵|ω|＝，
∴|z|＝．
将a＝3b代入，解得a＝±15，b＝±15．
故ω＝±＝±（7－i）．
解法二：由题意，设（1＋3i）z＝ki，k≠0且k∈R，
则ω＝．
∵|ω|＝5，∴k＝±50．
故ω＝±（7－i）．第3课 向量的坐标运算
【考点导读】
掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.
3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题.
【基础练习】
1 若=，=，则=
2 ( http: / / www. / ) 平面向量中，若，=1，且，则向量=
3.已知向量，且A、B、C三点共线，则k=
4.已知平面向量，，且，则1
5.已知向量,向量则的最大值，最小值分别是
【范例导析】
例1、平面内给定三个向量，回答下列问题：
（1）求满足的实数m,n；
（2）若，求实数k；
（3）若满足，且，求
分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.
解：（1）由题意得
所以，得
（2）
（3）设，则
由题意得
得或∴
点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。
例2.已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求及点D的坐标、
分析:注意向量坐标法的应用,及平行、垂直的充要条件.
解：设点D的坐标为(x,y)
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，∴⊥
又∵C、B、D三点共线，
∴∥
又=(x－2,y－1), =(－6,－3)
=(x－3,y－2)
∴
解方程组，得x=,y=
∴点D的坐标为(，)，的坐标为(－，)
点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题.
例3．已知向量且
求（1）及；（2）若的最小值是，求的值。
分析:利用向量的坐标运算转化为函数的最值问题求解.
解：（1）
，
。
（2）
当时，
当时，
当时，
综上所述：。
点拨:注意运用不同章节知识综合处理问题,对于求二次函数得分最值问题,注意分类讨论.
反馈练习：
1．已知向量，，则与 （A）www.
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
2.与向量a=b=的夹解相等，且模为1的向量是
3.点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（10，－5）
4.已知向量且则向量等于
5.已知向量120°
6.若，试判断则△ABC的形状____直角三角形_____
7.已知向量，向量，则的最大值是4
8.若是非零向量且满足， ，则与的夹角是
9.已知与，要使最小，则实数的值为
10.已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）
（1）若||，且，求的坐标；
（2）若||=且与垂直，求与的夹角.
解：（1）设，由和可得：
∴ 或
∴，或
（2） 即
∴ ， 所以
∴ ∵
∴ .
11.已知点是
且试用
解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.
由OA=2，，所以，
易求，设
.
12.已知，，其中 ( http: / / www. / )
(1)求证： 与互相垂直；
(2)若的长度相等，求的值(为非零的常数)
解：（1）证明：∵
∴ 与互相垂直
（2）；
而
，
例2
第11题第2课 向量的数量积
【考点导读】
理解平面向量数量积的含义及几何意义.
掌握平面向量数量积的性质及运算律.
掌握平面向量数量积的坐标表达式.
能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.
【基础练习】
1.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么
2.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值个数为2个
3.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的垂心（填重心、垂心、外心、内心）。
4. 若,，与的夹角为，若，则的值为
5.若，且，则向量与的夹角为 120°
【范例导析】
已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角的余弦值。
分析:利用及求解.
解：由题意，，且与的夹角为，所以，，，同理可得 而，设为与的夹角，则
点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。
例2.已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
（1）求证：⊥；（2）若，求的取值范围.
分析:问题（1）通过证明证明,问题（2）可以利用
解：（1）∵ ，且、、之间的夹角均为120°，
∴
∴
（2）∵ ，即
也就是
∵ ，∴
所以 或．
解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决.
例3.如图，在直角△ABC中，已知，若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值
分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得
,再结合直角三
角形和各线段长度特征法解决问题
解：
点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算.
例4.平面上有以O为圆心，以1为半径的圆，圆上有三点A,B,C,向量满足等式,这里.
若证明：；
若证明：为正三角形.
分析:对于问题（1）,抓住所证结论的特征,可将题目所给表达式两边同平方证得, 对于问题（2）,由于是有关三角形形状的问题可以结合余弦定理解决.
解：（1）由两边平方得=
,又,∵∴,∴
由（1）知，而∴，
∴=3,∴,同理可得，,即AB=BC=CA,∴为正三角形.
点拨:要注意平面向量与三角、平几、解几等知识的综合运用，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
反馈练习：
1.已知下列命题中：
（1）若，且，则或，
（2）若，则或
（3）若不平行的两个非零向量，满足，则
（4）若与平行，则,其中真命题的个数是
2.已知向量满足则与的夹角为
3.在直角中，是斜边上的高，有下列结论：
（1）；（2） ；
（3）；（4） ，则其中不成立的是（3）
4.如图，在四边形ABCD中，
，则的值为4
5.已知向量，对任意t∈R，恒有，则0
6.若向量满足,的夹角为60°，则=
7.若向量,则
8.已知向量的夹角为，,则6 ( http: / / www. / )
9.在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_-2_。
10.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求：① a·b ；②(2a－b) ·(a+3b)
解：（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2，∴
（2）（2a－b）·（a+3b）=2a2+5a·b－3b2=2|a|2+5a·b－3|b|2=2×42+5×（－10）－3×52=－93.
11.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
解：∵且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，
∴（a+3b）·（7a-5b）=0，（a－4b）·（7a－2b）=0
∴7a2＋16 a·b－15 b2=0，7a2－30 a·b＋8 b2=0，
∴b2=2 a·b，|a|=|b|
∴ ∴
12.四边形ABCD中,= a, = b,= c, = d,且a·b=b·c=c·d=d ·a，判断四边形ABCD是什么图形？
分析：在四边形ABCD中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件，对a+b=－（c+d），两边平方后，用a·b=b·c=d·c代入，从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状.
解：∵a+b+c+d=0，∴a+b=－（c+d），
∴（a+b）2=（c+d）2，即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2，
∵a·b=c·d，∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2……①
同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2……②
①，②两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2，即|b|=|d|，|a|=|c|.
∴ABCD为平行四边形.
又∵a·b=b·c，即b·（a－c）=0，而a=－c，
∵b·（2a）=0
∴a⊥b，
∴四边形ABCD为矩形.
例3
第4题第1课 向量的概念及基本运算
【考点导读】
理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.
掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.
了解平面向量基本定理及其意义.
【基础练习】
1.出下列命题：①若，则；②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是且；⑤若，，则。其中，正确命题材的序号是②③
2. 化简得
3.在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为梯形
4.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，
若＝a，＝b，则＝，
＝ (用a、b表示)
5.设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值为
【范例导析】
如图，中，分别是的中点，为交点，若=，=，试以、为基底表示、、
分析：本题可以利用向量的基本运算解决.
解：
是△的重心，
点拨: 利用一直向量表示未知向量的依据是平面向量基本定理，在解题中，应尽可能地转化到平行四边形或三角形中，结合向量的加减法、数乘运算解决.
例2.已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
求证：.
分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明.
证明：如图，连接EB和EC ，
由和可得， （1）
由和可得， （2）
（1）+（2）得， （3）
∵E、F分别为AD和BC的中点，∴，，
代入（3）式得，
点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.
例3.已知不共线，,求证：A,P,B三点共线的充要条件是
分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.
解：先证必要性：若A,P,B三点共线，则存在实数，使得,即,∴∵,∴，∴
再证充分性：若则==,∴
与共线，∴A,P,B三点共线.
点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题.
反馈练习：
1．已知向量a和b反向，则下列等式成立的是（C）
A. |a|－|b|=|a－b| B. |a|－|b|=|a+b|
C.|a|＋|b|=|a－b| D. |a|＋|b|=|a+b|
2.设四边形ABCD中，有则这个四边形是（C）
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
3.设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=||·;(2)若与a0平行，则=||·；（3）若与平行且||=1，则=。上述命题中，假命题个数是3
4.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么O点的位置为AD的中点
5.在 ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=,则 =
6.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
①，②，③。
解析：①原式= ；
②原式= ；
③原式= 。
7.设为未知向量， 、为已知向量，满足方程2(5+34)+3=0， ( http: / / www. / )
则=（用、表示）
8.在四面体O-ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则=（用a，b，c表示）
9.已知点C在内，。
设，则等于3
10.如图平行四边形OADB的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,设
解：
.
11.设两个非零向量、不共线，如果（1）求证：三点共线.
（2）设、是两个不共线的向量，已知,若三点共线，求的值.
解：（1）证明：因为
所以
又因为
得
即
又因为公共点
所以三点共线；
（2）解：
因为共线，所以.
设，所以 即；
O
A
P
Q
B
a
b
第4题
A
G
E
F
C
B
D
例1
D
C
E F
A B
例2
第10题
